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Sul settimo problema di Hilbert. (Italian) JFM 61.1085.01

Durch Ausbau der Methode Gelfonds (C. R. Acad. Sc. URSS. \(1934_{\text{II}}\), 1-6; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 163) gewinnt Verf. einen allgemeinen Satz über die Transzendenz von Potenzen, der speziell für eine Potenz \(\xi ^\eta\) von folgender Art ist: \(\xi ^\eta\) ist transzendent, wenn \(\xi (\not=0, \not=1)\) und \(\eta\) (irrational) “hinreichend rasch” durch algebraische Zahlen approximiert werden können. Exakt bewiesen wird folgender Satz: Gegeben \(k + 1\) \((k\geqq 1)\) konvergente Folgen algebraischer Zahlen: \[ \xi _r\to\xi (\not=0, \not=1),\;\eta_{1r}\to\eta_1,\dots,\eta_{kr}\to\eta_k. \] Für \(r = 1\), 2,…sei:
\(g_{r}=\) Grad eines algebraischen Zahlkörpers, der \(\xi _r\), \(\eta_{1r}\),…, \(\eta_{kr}\) enthält,
\(x_r=\) kleinste natürliche Zahl, für die \(x_r\xi _r\) ganz (algebraisch) ist,
\(y_{r}=\) kleinste natürliche Zahl, für die \(y_r\eta_{1r}\),…, \(y_r\eta_{kr}\) sämtlich ganz (algebraisch) sind,
\(\delta _r=\) Max (\(|\,\xi -\xi _r\,|\), \(|\,\eta_1-\eta_{1r}\,|\),…, \(|\,\eta_k-\eta_{kr}\,|\)),
   \(X_{r}=\;\text{Max}\;(|\,\overline{\xi }_r\,|)\), \(Y_r=\;\text{Max}\; (|\,\overline{\eta}_{1r}\,|,\dots, |\,\overline{\eta}_{kr}\,|)\)
(\(\overline{\xi }_r\) bzw. \(\overline{\eta}_{ir}\) durchläuft dabei \(\xi _r\) bzw. \(\eta_{ir}\) und alle Konjugierten zu \(\xi _r\) bzw. \(\eta_{ir}\), \(i = 1\),…, \(k\)),
\(\varLambda_r=\) “Breite”, in der 1, \(\eta_1\),…, \(\eta_k\) rational linear unabhängig sind, d. h.
\(\varLambda_r=\begin{cases} \infty,\;\text{wenn}\;1, \eta_1,\dots, \eta_k \;\text{schlechthin rational linear unabhängig sind},\\ \text{kleinste natürliche Zahl, für die aus}\;c_0 + c_1\,\eta_1 +\dots+ c_k\eta_k=0,\end{cases}\)
\(c_i\) ganzrational, \(|c_i\,|<\varLambda _r\), folgt \(c_0=c_1=\cdots=c_k=0\).  

Dann ist von den \(k\) Zahlen \(\xi ^{\eta_1}\),…, \(\xi ^{\eta_k}\) (dabei \(\xi ^\eta=e^{\eta\,\log\,\xi }\) mit fester Bestimmung von \(\log\,\xi \)) mindestens eine transzendent, wenn drei positive Zahlen \(\varrho \), \(\sigma \), \(\vartheta \) mit \(0<\varrho <\varrho +\sigma <1\), \(\vartheta >1+\dfrac{1}{k}\) existieren, so daß die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
b)   \(\biggl(g_r^{\vartheta -\tfrac{1}{k}}\log\frac{1}{\delta _r}\biggr)=O(\varLambda _r)\) für \(r\to\infty \), \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!c)} \hfill \qquad \begin{alignedat}{2} &g_r^{\tfrac{1}{k}}\bigl(g_r\log\,(ey_rY_r)\bigr)^{\tfrac{\vartheta }{\varrho }}=o\,\biggl(\log\dfrac{1}{\delta _r}\biggr),\;\;&&\;\;g_r^{\tfrac{1}{k}}\bigl(g_r\,\log\,(ex_rX_r)\bigr)^{\tfrac{\vartheta }{\sigma }}=o\,\biggl(\log\dfrac{1}{\delta _r}\biggr),\\ &g_r^{\tfrac{1}{k}}\bigl(g_r^2\log\,(ey_rY_r)\bigr)^{\vartheta _1}= o\,\biggl(\log\dfrac{1}{\delta _r}\biggr)&& \;\text{für}\;\;r\to\infty \quad\;\;\;\biggl(\vartheta _1=\frac{k\vartheta }{k\vartheta -k-1}\biggr). \end{alignedat} \hfill} \] Besonders interessant sind folgende Sonderfälle: \(\xi \), \(\eta\) seien algebraische Zahlen, \(\eta\) irrational.
1. Ist \(\xi \not=0\), \(\xi \not=1\) und \(\alpha \) eine irrationale Zahl, in deren Kettenbruchentwicklung unendlichviele Näherungsbrüche \(\dfrac{p_r}{q_r}\) mit \[ \biggl|\,\alpha -\frac{p_r}{q_r}\,\biggr|<\frac{1}{q_r^\omega },\quad \omega =\log^{2+\varepsilon }q_r, \varepsilon >0\;\text{fest}, \] auftreten, so ist \(\xi ^{\eta\alpha }\) transzendent.
2. Ist \(\xi \alpha \not=0\), \(\xi \alpha \not=1\) und \(\alpha \) eine irrationale Zahl, in deren Kettenbruchentwicklung unendlich viele Näherungsbrüche \(\dfrac{p_r}{q_r}\) mit \[ \biggl|\,\alpha -\frac{p_r}{q_r}\,\biggr|<\frac{1}{q_r^\tau },\quad \tau =\log^{1+\varepsilon }q_r,\;\varepsilon >0\;\;\text{fest}, \] auftreten, so ist \((\xi \alpha )^\eta\) transzendent.
Die Menge dieser Zahlen \(\alpha \) hat die Mächtigkeit des Kontinuums; diese Sätze liefern also Mengen transzendenter Zahlen vom Typus \(\zeta ^\gamma \) bzw. \(\gamma ^\zeta \) mit algebraischem \(\zeta \), deren Mächtigkeit die des Kontinuums ist.
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References:

[1] 1 K. Boehle: Über die Transzendenz von Potenzen mit algebraischen Exponenten (Verallgemeinerung eines Satzes von A. Gelfond), Mathematische Annalen, Bd. 108 (1933), pp. 56-74. Zbl0006.15701 JFM59.0222.01 · Zbl 0006.15701
[2] 2 A. Gelfond: Sur les nombres transcendonts, Comptes rendus Acad. Sciences Paris, t. 189 (1929), pp. 1224-1226. JFM55.0116.02 · JFM 55.0116.02
[3] 3 - - Sur le septième problème de D. Hilbert, Comptes rendus Acad. Sciences U. R. S. S., nouv. série, vol. II (1934), pp. 1-6.
[4] 4 - - Sur le septième problème de Hilbert, Bulletin Acad. Sciences U. R. S. S., s. 7, 1934, pp. 623-634.
[5] 5 CH. Hermite: Sur la formule d’interpolation de Lagrange, Journal für Mathematik, Bd. 84 (1878), pp. 70-79; oppure vedere per esempio: (Euvres, t. III, Ed. PICARD, Paris1912, pp.. 432-443; JFM09.0312.02 · JFM 09.0312.02
[6] O. Nicoletti: Funzioni razionali di una o più variabili in Enciclopedia delle Matematiche elementari (a cura di L. BERZOLARI, G. VIVANTI, D. GIGLI), vol. I parte II, Milano1932, p. 167.
[7] 6 D. Hilbert: Sur les problèmes futurs des mathématiques, Compte rendu du 2e. Congrès international des Mathématiciens (1900), Paris1902, pp. 58-114; vedere p. 84. Oppure: Mathematische Probleme, Nachrichten v. d. K. Gesellschaft d. Wissenschaften zu Gottingen, 1900, pp. 253-297; vedere p. 274. JFM32.0084.06 · JFM 32.0084.06
[8] 7 R. Kuzmin: Sur une nouvelle classe de nombres transcendants, Bulletin Acad. Sciences U. R. S. S., s. 7, 1930, pp. 585-597. JFM56.0898.03 · JFM 56.0898.03
[9] 8 TH. Schneider: Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen I: Transzendenz von Potenzen, Journal für Mathematik, Bd. 172 (1934), pp. 65-69. Zbl0010.10501 · Zbl 0010.10501
[10] 9 C. Siegel: Lezioni tenute a Berlin e a Göttingen nel febbraio 1930 (citate ma non pubblicate).
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