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Sur deux ensembles linéaires singuliers. (French) JFM 61.1101.02
Man sagt, daß eine lineare Menge \(E\) die Eigenschaft \(C\) hat, wenn für jede gegebene Folge von reellen, positiven Zahlen \(\{a_n\}_{n=1,2,\cdots}\) die Menge \(E\) durch eine Folge von Intervallen \(\{d_n\}_{n=1,2,\cdots}\) überdeckt werden kann, wobei die Länge von \(d_{n}\) gleich \(a_{n}\) ist.
Über die \(C\)-Mengen wird folgender Satz hergeleitet: Wenn \(2^{\aleph_0}=\aleph_1\) ist, dann gibt es eine lineare nicht abzählbare Menge \(E\), welche die Eigenschaft \(C\) hat und durch jede Verschiebung längs der Geraden in sich selbst überführt wird, wenn man nur von einer höchstens abzählbaren Menge von Punkten absieht.
Ein analoger Satz gilt für die Mengen, die auf jeder perfekten Menge von der ersten Kategorie sind; man braucht nur in dem angeführten Satz die Worte “die Eigenschaft \(C\) hat” durch ”auf jeder perfekten Menge von der ersten Kategorie sind” zu ersetzen. (IV 3 B.)
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Full Text: EuDML