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A metrically transitive group defined by the modular group. (English) JFM 61.1108.04

Metrisch transitiv heißt eine Gruppe von Transformationen, die so beschaffen ist, daß jede meßbare Menge, die unter allen ihren Transformationen invariant bleibt, entweder eine Menge vom Maße Null sein oder eine Komplementärmenge vom Maße Null besitzen muß. Wie M. H. Martin (Bull. Amer. Math. Soc. 40 (1934), 606-612; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 204) gezeigt hat, ist die inhomogene Modulgruppe metrisch transitiv in bezug auf die reelle Achse. Hier wird nun mit Hilfe eines Artinschen Resultates (Abhandl. Hamburg 3 (1924), 170-175; F. d. M. 50, 677) gezeigt, daß die Gruppe von reellen Transformationen der \((\xi, \eta)\)-Ebene in sich \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!\(T\):} \hfill \xi =\frac{a\xi '+b}{c\xi '+d},\;\;\eta=\frac{a\eta'+b}{c\eta'+d} \hfill} \] (\(a\), \(b\), \(c\), \(d\) ganz, \(ad - bc=1\)) metrisch transitiv ist. Die Hilfsmittel des Beweises sind Lemmata über Kettenbrüche. Es wird schließlich gezeigt, daß das erwähnte Martinsche Resultat ein Korollar des bewiesenen Satzes ist. Umgekehrt ist es aber nicht nötig, wie durch ein Beispiel erhärtet wird, daß die Anwendung einer metrisch transitiven Gruppe von eindimensionalen Transformationen auf beide Koordinaten simultan wieder zu einer metrisch transitiven Gruppe von zweidimensionalen Transformationen führen muß.

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