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Sull’integrale di Stieltjes-Riemann. (Italian) JFM 61.1109.04
Die übliche Definition des Siteltjes-Integrales \(\int f(\xi )\,d\varPhi (\xi )\) ist nur dann anwendbar, wenn die beiden Funktionen \(f\) und \(\varPhi \) nicht gleichzeitig an einem inneren Punkt des Integrationsintervalles unstetig werden. In der vorliegenden Arbeit wird eingehend das Verhalten des Integrales an einer Unstetigkeitsstelle von \(\varPhi \) untersucht. An jeder solchen Stelle \(\xi \) werden \(\varPhi \) ein linker Wert \(\varPhi _s(\xi )\) und ein rechter \(\varPhi _d(\xi )\) zugeordnet, die der Ungleichung \(\varPhi (\xi -0)\leqq \varPhi _s(\xi )\leqq \varPhi _d(\xi )\leqq \varPhi (\xi +0)\) genügen, so daß man also allgemein an diesen Stellen fünf Werte von \(\varPhi \) hat; analog für \(f\), wenn auch \(f\) an dieser Stelle eine Unstetigkeit aufweist. Weiter verfolgt wird aber nur der Fall, daß \(\varPhi (\xi -0)=\varPhi _s(\xi )\) und \(\varPhi _d(\xi )=\varPhi (\xi +0)\) ist und daß das gleiche für \(f\) gilt. Hierfür wird – auch anschaulich - die Formel für die partielle Integration abgeleitet. Die dabei infolge der Unstetigkeiten auftretenden Restglieder fallen unter anderem auch bei der von Steffensen, (On Stieltjes’ integral and its application to actuarial questions, Journ. Inst. Actuaries 63 (1932), 443-485; F. d. M. 58) gegebenen abgeänderten Definition des Stieltjes-Integrales fort.
An Beispielen aus der Lebensversicherungsmathematik wird die Verwendbarkeit der unter verallgemeinerten Voraussetzungen abgeleiteten Formel gezeigt. (IV 16.)

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