Sur le caractère de divergence des séries orthogonales. (French) JFM 61.1121.03

Zygmund, A.

Mathematica, Cluj, 9, 86-88 (1935).

\(f (x)\) sei eine im Intervall \((0, 2\pi)\) quadratisch integrierbare Funktion, \(\{S_n(x)\}\) sei die Folge der Partialsummen ihrer Fourierreihen. Verf. zeigt, daß man für fast alle Punkte \(x\) die Folge \(\{ n\}\) der natürlichen Zahlen in zwei Folgen \(\{n_i\}=\{n_i(x)\}\) und \(\{m_i\}=\{m_i(x)\}\) derart einteilen kann, daß die Folge \(S_{n_i}(x)\) konvergiert und daß \(\sum\limits_{i=1}^\infty \dfrac{1}{m_i}\) beschränkt ist.
Zum Beweis dieses Satzes zeigt Verf., daß die Reihe \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(S_n-\sigma_n)^2}{n}\) fast überall konvergiert. Hierbei bedeuten \(\sigma_n\) die Fejérschen Mittel der Fourierreihe von \(f(x)\).

Reviewer: Marcinkiewicz, J., Dr. (Wilna)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Theorie der reelen Funktionen. D. Approximationen, Darstellungen und Reihen.