×

Ein Fixpunktsatz. (German) JFM 61.1195.01

Als Erweiterung des J. Schauderschen Fixpunktsatzes (Studia math. 2 (1930), 171-180; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 355) wird bewiesen, daß jede stetige Abbildung einer konvexen bikompakten Menge eines linearen topologischen lokal-konvexen Raumes in sich (wenigstens) einen Fixpunkt besitzt. Es folgen Anwendungen auf die Auflösung eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen mit unendlich (auch unabzählbar) vielen Unbekannten und auf die einer Gleichung \(A(f, y) = f(y)\), wo \(A(f, y)\) ein im folgenden Sinn stetiger Operator ist: Zu jedem \(y\) des Definitionsbereiches der Funktionen \(f\) und \(\varepsilon > 0\) gibt es ein \(\delta\) und \(x_1, \dots, x_n\) derart, daß \(| A(f_1, y) - A(f_2, y) | < \varepsilon\), falls \(| f_1(x_i) - f_2(x_i) | < \delta\) für \(i = 1, \dots, n\). (V 2.)

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML Link

References:

[1] Vgl. Schauder, Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen. Studia Mathematica2 (1930), S. 171. · JFM 56.0355.01
[2] Vgl. S. Banach, Théorie des opérations linéaires. Warszawa, 1932, Kap. II.
[3] Vgl. A. Kolmogoroff, Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes. Studia Mathematica5 (1934), S. 29. · Zbl 0010.18202
[4] Siehe P. Alexandroff und P. Urysohn, Zur Theorie der topologischen Räume, Math. Annalen92 (1934), S. 258. · JFM 50.0128.06
[5] Bei Schauder ist der entsprechende Satz für metrische Räume bewiesen.
[6] Für den metrischen Raum kann man als {W} die Gesamtheit aller ?-Umgebungen der PunkteF nehmen. In diesem Falle bilden alle ?/3-Umgebungen eine zweifache Verfeinerung von {W}.
[7] Vgl. A. Tychonoff, Über topologische Erweiterung von Räumen, Math. Annalen102 (1929), S. 544, wo die Definition des Produktes von Strecken gegeben ist. · JFM 55.0963.01
[8] Vgl. A. Tychonoff,, § 2. · JFM 55.0963.01
[9] Vgl. M. Fréchet, Les espaces abstraits, Gauthier-Villars.
[10] Vgl. Urysohn, Sur un problème de M. Fréchet, Congrès-Dijon, 1925.
[11] Vgl. A. Tychonoff, Über einen Funktionenraum, dieser Band, S. 762-763. · Zbl 0012.30802
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.