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Operatoren im Wachsschen Raum. (German) JFM 61.1200.01
Verf. konstruiert in Analogie zum Hilbertschen Raum (mit reellen oder komplexen Koeffizienten, aber beliebiger Dimension) den “Wachsschen Raum” mit Quaternionen als Koeffizienten. Der (komplexe) Hilbertsche, reelle Hilbertsche und Wachssche Raum werden, soweit möglich, gemeinsam behandelt, indem ein allgemeiner Grundkörper \(\varSigma\) benutzt wird. Die Begriffe Raum, Linearmannigfaltigkeit, Operator, Hermitesch, vertauschbar usw. werden eingeführt, und der Dimensionsbegriff wird eingehend diskutiert.
Ein neuer Beweis des Spektralsatzes für selbstadjungierte Operatoren wird ohne Fallunterscheidung mit dem Grundkörper \(\varSigma\) durchgeführt. Der F. Rieszsche Zerlegungssatz, der Kern des Spektralsatzes, wird mittels eines von v. Neumann stammenden Formalismus bewiesen.
Die Untersuchung der Darstellungen des Quatemionenkörpers zeigt die Besonderheiten des Wachsschen Raumes und führt zur Definition der Imaginäroperatoren (Operatoren \(T\) mit \(T^* = -T\), \(T^2 = -1\)). Mit ihrer Hilfe werden die Fortsetzungen eines abgeschlossenen Hermiteschen Operators untersucht, mit für die drei Fälle verschiedenem Ergebnis. Die maximalen, nicht selbstadjungierten Operatoren werden auf eine Normalform gebracht.
Das Spektralproblem eines (unbeschränkten) normalen Operators \(N\) wird auf einen “Hauptsatz” zurückgeführt, der eine Zerlegung \(N = A + T_0B\) (\(A\) und \(B\) selbstadjungiert, \(B \geqq 0\), \(T_0\) Imaginäroperator) liefert. Er gilt für den Grundkörper \(\varSigma\) und enthält die für den Hilbertschen Raum bekannten Tatsachen.
Vgl. auch die vorstehend besprochene Arbeit von Y.-Y. Tseng.

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Full Text: Crelle EuDML