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Potentiel d’équilibre et capacité des ensembles avec quelques applications à la théorie des fonctions. (French) JFM 61.1262.02
Meddelanden Mat. Sem. Univ. Lund 3, 115 s (1935).
Diese interessante, Neues bringende und mit ausgewählten Literaturhinweisen versehene Monographie beginnt mit einer Darstellung über additive Mengenfunktionen und die Radonsche Verallgemeinerung des Stieltjesschen Integrals. \[ u(P) = \int\varPhi(r_{PQ})d\mu_Q \] ist das verallgemeinerte Potential, das für \(\varPhi = r^\alpha\) (\(r = \overline{PQ}\)) betrachtet wird. Das sogenannte Gleichgewichtstheorem wird bewiesen, das die Existenz einer Massenverteilung von gegebener Gesamtmasse \(M\) in einem gegebenen räumlichen Bereich \(D\) behauptet, dessen Potential konstant in \(D\) ist. Der Rand hat einer Poincaréschen Bedingung zu genügen. Die Vermeidung dieser Zusatzbedingung gelingt mit Hilfe des Kapazitätsbegriffes, der auch bei allen weiteren Sätzen eindeutige Aussagen ermöglicht. Das zeigt sich auch bei der Verallgemeinerung des Poincaréschen Ausfegeverfahrens, mit dessen Hilfe eine Kelloggsche Definition der Greenschen Funktion übertragen wird. Damit sind alle für die Lösung des Dirichletschen Problems notwendigen Begriffe und Sätze auch für den allgemeineren Potentialbegriff sichergestellt.
Ein hinreichendes Kriterium dafür, daß eine Menge von der Kapazität Null ist, wird mit Hilfe des Hausdorffschen Maßes gegeben, das auch die Dimensionen einer Menge im Anschluß an Pólya-Szegö (Journ. f. Math. 165 (1931), 4-49; JFM 57.0094.*) zu definieren erlaubt. Die Bedeutung des Kapazitätsbegriffes (insbesondere der logarithmischen Kapazität) in der Funktionentheorie wird im letzten Abschnitt gezeigt. Nevanlinnasche Ausnahmewerte einer in \(|z| < R\) meromorphen Funktion (mit \(T(r)\to \infty\)) bilden z. B. eine Menge von der logarithmischen Kapazität null. (IV 4 F.)