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Proprietà delle estremanti nei problemi di Mayer. (Italian) JFM 61.1285.01

Mit den Methoden von Tonelli werden die den Eulerschen Gleichungen der Variationsrechnung entsprechenden Gleichungen aufgestellt.
Im I. Kapitel wird das Mayersche Problem in Parameterdarstellung so formuliert: \(F(x, y, x', y', u)\) sei erklärt für \((x, y)\) in einem Gebiet \(A\), \((x', y') \neq (0, 0)\), \(u\) in einem Intervall \(\varDelta\) und positiv homogen vom ersten Grad in bezug auf \(x', y'\). Zulässige Kurven \[ C:\,x= x (s), y=y (s), 0\leqq x\leqq L \] sind stetig und rektifizierbar und gestatten die Auflösung der Differentialgleichung \[ u' = F(x(s), y (s), x'(s), y'(s),u) \tag{1} \] durch eine Funktion \(u_C(s)\) (so daß (1) fast überall gilt) mit \(u_C(0) = u_0\). In einer Klasse \(K\) von zulässigen Kurven wird eine solche gesucht, für die \(u_C(L)\) ein Minimum ist.
Jeder frei variierbare Bogen einer “Minimante” erfüllt folgende Gleichungen: \[ \begin{gathered} {\int\limits_{0}^{s}}(F_x + F_{x'}F_u)\,ds\frac d{ds}{\int\limits_{0}^{s}}F_{x'}\,ds=c_1,\\ {\int\limits_{0}^{s}}(F_y + F_{y'}F_u)\,ds\frac d{ds}{\int\limits_{0}^{s}}F_{y'}\,ds=c_2.\\ \end{gathered} \tag{2} \] Ist das Problem quasiregulär (Tonelli), so besitzen die Minimanten stetige Tangente, und man kann statt (2) \[ F_x + F_{x'}F_u =\frac d{ds}F_{x'},\quad F_y + F_{y'}F_u =\frac d{ds}F_{y'}, \] schreiben.
Im II. Kapitel wird das Problem in gewöhnlicher Form behandelt. Hier hat man eine Funktion \(f(x, y, y', u)\) und statt (1) \[ u'=f\big(x,y(x),y'(x),u\big). \] \(y = y (x)\) soll in \((a, b)\) totalstetig sein, \(u_C(a)=u_0\) und \(u_C(b)\) ein Minimum.
Die Eulersche Gleichung heißt jetzt \[ {\int\limits_{a}^{x}}(f_y + f_{y'}f_u)\,dx\frac d{dx}{\int\limits_{a}^{x}}f_{y'}\,dx=c. \tag{3} \] Dazu muß aber vorausgesetzt werden, daß entweder \(y (x)\) eine Lipschitzsche Funktion ist, oder daß folgende Bedingungen erfüllt sind: Für jeden abgeschlossenen beschränkten Teil des Definitionsgebiets in \(x\), \(y\), \(u\) gibt es Zahlen \(M\), \(N\), so daß \[ |f_y(x, y+\varphi, y', u)|\leqq N_1|y'| + N_2|f (x, y, y', u)|+ N_3 \tag{4} \] für \(|\varphi|\leqq M\) und \[ |f_{y'}(x, y, y', u)|\leqq\overline{N}_1|y'|+\overline{N}_2|f|+\overline{N}_3,\quad |f_u|\leqq N_0 \tag{5} \] gilt.
An Stelle von (5) kann auch \(f_u\) einer Bedingung von der Form (4) unterworfen und \(f_{y'}\), beschränkt angenommen werden.
Für quasireguläre Probleme bekommt man wie vorhin \[ f_y + f_{y'}f_u=\frac d{dx}f_{y'} \]
Kurven, die (3) erfüllen, heißen Extremaloiden. Unter geeigneten Bedingungen ist also jede Minimante eine Extremaloide; sie ist auch eine “Pseudoextremaloide”, d. h. genügt, unter entsprechenden Bedingungen, der Gleichung (3), in der man \(f_y\) durch \(f_x\) und \(f_{y'}\), durch \(f-y'f_{y'}\), ersetzt.