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Die Fundamentalgruppe von Komplexen. (German) JFM 61.1347.03
Verf. baut für sehr allgemeine Komplexe \(K\) eine Theorie der Fundamentalgruppe und des Überlagerungskomplexes auf. Von den Komplexen wird nur vorausgesetzt, daß sie aus endlich vielen Zellen der Dimensionen \(0,1,\dots,n\) bestehen und daß zwischen den Zellen der Dimensionen \(i-1\) und \(i\) (\(i=1,2,\dots,n\)) Inzidenzen – gegeben durch Inzidenzmatrizen – erklärt sind, die aber keinerlei Bedingungen unterworfen sind. Außerdem sei \(K\) zusammenhängend, d. h. je zwei Zellen seien durch einen “Weg” (in dem unten erklärten Sinne) verbindbar. An Stelle der Wege treten hier geordnete Mengen von Zellen \(w=z_0z_1\dots z_m\), wobei \(z_{i-1}\) und \(z_i\) (\(i=1,2,\dots,m\)) inzidieren. Die geschlossenen Wege \(zw_iz\) mit fester Anfangs- und Endzelle \(z\) bilden eine Gruppe (\((zw_1z)(zw_2z)=zw_1zw_2z\)), aus der man durch Zusammenfassen von “verwandten” Wegen (\(z_iz_{i+1}z_{i+2}\) mit \(z_i=z_{i+2}\) darf durch \(z_i\) ersetzt werden und umgekehrt) zu Klassen eine freie Gruppe, die “freie Wegegruppe” erhält, durch weitere Zusammenfassung “äquivalenter” Wege (es darf außerdem, wenn \(z_i\) und \(z_{i+2}\) von gleicher Dimension \(k\), also \(z_{i+1}\) von der Dimension \(k+1\) oder \(k-1\) ist, \(z_{i+1}\) durch eine ebenfalls mit \(z_i\) und \(z_{i+2}\) inzidente Zelle der Dimension \(k-1\) bzw. \(k+1\) ersetzt werden) erhält man die “Wegegruppe”. Die üblichen Rechenverfahren liefern ein Erzeugendensystem der freien Wegegruppe und dazu ein System von definierenden Relationen für die Wegegruppe, die “Eckenrelationen”. Der Äquivalenzbegriff kommt darauf hinaus, daß man in einem “Inzidenztripel” \(z^{k+1}z^kz^{k-1}\) (der obere Index bezeichnet die Dimension) \(z^k\) durch eine ebenfalls mit \(z^{k+1}\), \(z^{k-1}\) inzidente \(\bar z^k\) ersetzen darf. Fordert man statt dessen, daß ein Inzidenz-\(m\)-tupel \(z^{k+m}z^{k+m-1}\dots z^{k+1}z^k\) durch jedes andere Inzidenz-\(m\)-tupel mit gleicher Anfangs- und Endzelle ersetzt werden darf, so erhält man im allgemeinen eine stärkere Zusammenfassung zu Klassen, der neue “höhere Eckenrelationen” entsprechen.
\(U\) sei ein Überlagerungskomplex von \(K\), d. h. über jeder Zelle \(z\) von \(K\) mögen gleichviele Zellen \(uz\) von \(U\) liegen (wobei die “Koordinaten” \(u\) zur Unterscheidung der über dem gleichen \(z\) liegenden Zellen von \(U\) dienen), und der Rand und das Büschel von \(z\) (d. h. die Gesamtheit der Zellen von geringerer bzw. höherer Dimension als \(z\), mit denen \(z\) bzw. die mit \(z\) durch ein Inzidenz-\(m\)-tupel verbunden sind) sollen von Rand und Büschel von \(uz\) genau einmal überlagert werden. Sind also \(z^k\) und \(z^{k-1}\) inzident, so entspricht jedem \(uz^k\) ein mit ihm inzidentes \(u'z^{k-1}\), wobei \(u\to u'=u\gamma\) eine Koordinatentransformation bedeutet; die von null verschiedenen Elemente der “Inzidenzmatrizen” von \(U\) sind also bestimmte Koordinatentransformationen \(\gamma\). Zwischen den \(\gamma\) bestehen innerhalb der durch sie erzeugten Transformationsgruppe wegen der Büschel- und Randbedingung Relationen, die den Ecken- und höheren Eckenrelationen entsprechen. Jeder geschlossene Weg \(zwz\) in \(k\) bestimmt nun eine eineindeutige Abbildung der \(uz\) auf sich, d. h. eine Koordinatentransformation \(\gamma_w\), die der durch die \(\gamma\) erzeugten Gruppe angehört; äquivalente Wege bestimmen wegen der Eckenrelationen der \(\gamma\) dieselbe \(\gamma_w\), so daß man eine Darstellung der Wegegruppe in der von den \(\gamma\) erzeugten Gruppe erhält, und diese (bis auf Ähnlichkeitstransformation bestimmte) Darstellung legt ihrerseits die Überlagerung fest: Hat man eine Darstellung der Wegegruppe mittels eineindeutiger Transformationen einer Koordinatenmenge und erfüllt diese Darstellung die höheren Eckenrelationen, so entspricht ihr eine Überlagerung des Komplexes.
Um Übereinstimmung mit der üblichen Theorie der Fundamentalgruppe zu erhalten, muß man den Inzidenzen von \(K\) Bedingungen auferlegen, etwa folgende:
Rand-bzw. Büschelaxiom: Ist \(z_1^kz^{k+1}z_2^k\) bzw. \(z_1^kz^{k-1}z_2^k\) ein Weg, so lassen sich \(z_1^k\) und \(z_2^k\) durch einen aus \(k\)- und \((k-1)\)- bzw. \((k+1)\)-dimensionalen Zellen des Randes bzw. Büschels von \(z^{k+1}\) bzw. \(z^{k-1}\) bestehenden Weg verbinden. Randbüschelaxiom: Der Rand einer Zelle genügt dem Büschelaxiom.
Rand- und Büschelaxiom haben zur Folge, daß schon die von einer \(k\)-dimensionalen Zelle ausgehenden höchstens bzw. mindestens \(k\)-dimensionalen Wege die Wegegruppe liefern. Nach dem Randbüschelaxiom werden die für die Überlagerungskonstruktion wichtigen höheren Eckenrelationen eine Folge der gewöhnlichen Eckenrelationen.
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