Chain-deformations in topology. (English) JFM 61.1363.01

Lefschetz, S.

Duke math. Journ. 1, 1-18 (1935).

Analog zur Homotopietheorie der Komplexe wird eine Homologietheorie der “chain-deformations” entwickelt, die allein auf der mit der Deformation verknüpften Homologierelation beruht. Ohne auf die vorangehende axiomatische Einführung des Kettenbegriffs einzugehen – sie ist so gefaßt, daß darunter die singulären Ketten topologischer Räume und die regulären (Projektions-)Ketten kompakter metrischer Räume im Sinne des Verf., aber auch z. B. die für sehr allgemeine Räume von Čech definierten fallen –, geben wir die Definition der Kettendeformation und die daraus fließenden Begriffsbildungen wieder. (Der Raum \(\mathfrak R\) wird im allgemeinen als metrisch, separabel und lokal kompakt, zuweilen als kompakt vorausgesetzt.)
Unter einem Quasikomplex \(\operatorname{Re}\) von \(\mathfrak R\) ist eine Menge von Ketten von \(\mathfrak R\) zu verstehen mit folgenden Eigenschaften: Die \(p\)-Ketten von \(\operatorname{Re}\) bilden eine Untergruppe der Gruppe \(\{c_p\}\) der \(p\)-Ketten von \(\mathfrak R\); zugleich mit \(c_p\) ist auch der Rand \(Fc_p\) in \(\operatorname{Re}\) enthalten. Sind zwei Quasikomplexe \(\operatorname{Re}\) und \(\operatorname{Re}'\), eine homomorphe Abbildung \(\vartheta\) der Ketten von \(\operatorname{Re}\) auf die gleichdimensionalen Ketten von \(\operatorname{Re}'\) und eine lineare Operation \(\mathfrak D\), die jeder \(c_p\subset \operatorname{Re}\) eine \(c_{p+1}\subset \mathfrak R\) eindeutig zuordnet, gegeben, derart, daß \[ \vartheta F = F\vartheta,\;F\mathfrak D + \mathfrak DF = \vartheta - 1 \] (angewendet auf \(c_p \in \operatorname{Re}\)) gilt, so liegt eine “Kettendeformation” von \(\operatorname{Re}\) in \(\operatorname{Re}'\) vor. Insbesondere bestimmt jede homotope Deformation einer in sich kompakten Menge eine Kettendeformation jeder ihrer Ketten.
Homologieretrakt – kurz HR – der Menge \(A\) heißt \(B \subset A\), wenn in \(A\) jede Kette von \(A\) eine Kettendeformation auf eine solche von \(B\) zuläßt; anders ausgedrückt: \(A\) läßt eine Kettenzusammenziehung auf \(B\) zu (ist “chain-shrinkable”). Unter dem Namen HNR wird auch ein Analogon des Umgebungsretrakts eingeführt. Schließlich definiert Verf. eine Reihe von lokalen Zusammenhangseigenschaften HLC, die auf Berandungseigenschaften der Zyklen in der Nähe eines Punktes gegründet und im übrigen (zum Teil allerdings unter Abänderung der Bezeichnung) den verschiedenen LC-Begriffen einer früheren Arbeit des Verf. (Ann. of Math. (2)35 (1934), 118-129; JFM 60.1218.*-1219) nachgebildet sind.
Verf. untersucht die Beziehungen zwischen Mengen LC, HLC und HNR; die Ergebnisse entsprechen teilweise, aber nicht in allen Punkten denen der früheren Arbeit. (Vgl. hierzu Verf., On locally connected and related sets II, Duke math. Journ. 2 (1936), 435-442; F. d. M. 62\(_{\text{II}}\).)

Reviewer: Pannwitz, Erika, Dr. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 2. Topologie.

Citations:

JFM 60.1218.*