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Quelques propriétés des variétés algébriques se rattachant aux théories de l’algèbre moderne. (French) JFM 61.1406.05
Actual. scient. et industr. 1935, Nr. 210, 31 p (1935).
Im projektiven Raume \(S_{n}\) mit den Koordinaten \(x_{0}\), \(x_{1}\),…, \(x_{n}\) werden die homogenen Polynomideale \(\mathfrak a\) betrachtet, d. h. solche, deren Basis nur aus Formen besteht; die diesen Basisformen gemeinsamen Punkte bilden eine zu \(\mathfrak a\) gehörige algebraische Mannigfaltigkeit \(V\). \(\mathfrak a\) läßt sich als kleinstes gemeinsames Vielfaches einer Reihe von Primäridealen darstellen: \[ \mathfrak a=[\mathfrak q_0,\mathfrak q_1,\dots,\mathfrak q_h], \] worin die homogenen Ideale \(\mathfrak q_1,\dots,\mathfrak q_h\) zu irreduziblen Mannigfaltigkeiten \(V_1\),…, \(V_{h}\) des \(S_{n}\), das eventuell fehlende Ideal \(\mathfrak q_{0}\) hingegen zu \(x_0=x_1=\ldots=x_n=0\) gehört; \(\mathfrak q_{0}\) heißt die uneigentliche Komponente von \(\mathfrak a\). Eine Form gehört zu \(\mathfrak a\), wenn sie den \(\mathfrak q_i\) (\(i= 0\),…, \(h\)) angehört; diese Bedingung hat zwar für \(i=1\),…, \(h\) geometrischen Charakter, jedoch nicht für \(i=0\). Deshalb untersucht Verf. zunächst die kennzeichnenden Bedingungen dafür, daß \(\alpha \) keine uneigentliche Komponente \(\mathfrak q_0\) enthalte; setzt man in allen Formen von \(\mathfrak a\) \(x_{0} = 0\), so entsteht ein homogenes Ideal \(\overline{\mathfrak a}\); ist ferner \(\chi(\mathfrak a,l)\) die Zahl der mod \(\mathfrak a\) linear unabhängigen Formen \(l\)-ten Grades, so lautet jene Bedingung: \[ \chi(\overline{\mathfrak a}, l)=\chi(\mathfrak a, l)-\chi(\mathfrak a, l-1)\;\;\text{für alle}\;\;l\geqq 1\,. \] Dieses Kriterium wird nun auf die für die geometrischen Anwendungen wichtigen Ideale \(\mathfrak a\) spezialisiert, die aus einem von uneigentlicher Komponente freien Ideale \(\mathfrak m\) und einem Hauptideal \(\varPhi \) durch die Bildung \(\mathfrak a=(\mathfrak m, \varPhi )\) hervorgehen. Eine Anwendung hiervon ergibt einen neuen Beweis des Noetherschen Zerlegungssatzes für eine Hyperfläche \(F\), die durch die nicht gemischte, d. h. nicht mehr als \(d\)-dimensionale Schnittmannigfaltigkeit von \(n - d\) Hyperflächen \(F_1=0\),…, \(F_{n-d}=0\) geht, und für den Fall eines gemischten, d. h. höherdimensionalen Schnittgebildes ergeben sich Gültigkeitsschranken für diesen Zerlegungssatz. Alle Formen, die eine gegebene Mannigfaltigkeit \(V\) enthalten, lassen sich homogen und linear durch eine endliche Zahl unter ihnen ausdrücken; das aus diesen gebildete Ideal sei \(\mathfrak a_v\), besitzt \(\overline{\mathfrak a}_v\) keine uneigentliche Komponente, so heißt \(V\) von erster, andernfalls von zweiter Art; z. B. ist jedes nicht gemischte totale Schnittgebilde der Dimension \(\geqq 1\) von erster Art. Die kennzeichnende Bedingung dafür, daß die Noethersche Zerlegung beim Schnitt von \(V\) mit einer, keinen irreduziblen Teil von \(V\) enthaltenden, Hyperfläche \(\varPhi \) gilt, ist die, daß \(V\) von erster Art sei. Verf. verfolgt die Raumkurven erster Art weiter und ergänzt damit die Ergebnisse von Légaut (Ann. Toulouse (3) 16 (1925), 29-132; F. d. M. 51, 526 (JFM 51.0526.*)); eine weitere Anwendung liefert den Harphenschen Satz über die Raumkurven \(n\)-ten Grades mit maximalem Geschlecht.