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Recherches sur la courbure des surfaces dans des espaces à \(n\) dimensions à courbure constante. II, III. (French) JFM 61.1443.03
Publ. Fac. Sci. Univ. Masaryk, Nr. 212, 20 p.; Nr. 214, 23 p (1935).
Diese nur aus drucktechnischen Gründen in zwei Teile zerlegte Arbeit ist die Fortsetzung einer gleichbetitelten (Teil I, Publ. Fac. Sci. Univ. Masaryk, Nr. 165 (1932); F. d. M. 58). Dort hat Verf. die Flächen des \(S_n\) mit konstanter Krümmung untersucht, in deren Punkten für eine gewisse Anzahl \(m\) \(\left( m \leqq \dfrac{n}{2} \right)\) der Normalkrümmungen die zugehörigen Indikatrizen Kreise um die betreffenden Punkte sind. Nunmehr geht Verf. zu dem Fall über, daß dieselbe Eigenschaft für die Indikatrizen aller Normalkrümmungen gilt. Das erfordert, daß \(n\) gerade ist, \(n = 2r\) (und \(m = r\)). Dabei beschränkt er sich darauf, den umgebenden Raum \(R_n\) als euklidisch vorauszusetzen. Er zeigt, daß die betrachteten Flächen ein reelles Bild der analytischen Kurven des parabolischen \(r\)-dimensionalen Hermiteschen Raumes sind. Sie stimmen also genau mit den “charakteristischen Flächen” der analytischen Kurven überein. Verf. stellt in Teil II einleitende Betrachtungen über den parabolischen Hermiteschen Raum \(K_n\) und die Frenetformeln bezüglich der Kurven des \(K_n\) an. In Teil III untersucht er die (in der üblichen Weise hergestellte) Abbildung des \(K_n\) auf den euklidischen \(R_{2n}\) und erhält schließlich zusammen mit zahlreichen Eigenschaften der charakteristischen Flächen für diese die bereits angegebene geometrische Charakterisierung. Unter anderem zeigt er, daß auch die folgende Eigenschaft zur Kennzeichnung der charakteristischen Flächen der analytischen Kurven ausreicht: Für sie sind alle Haupträume (d. h. die zu den Schmieg-\(S_k\) senkrechten, in den Schmieg-\(S_{k+1}\) gelegenen Räume, \(1 \leqq k \leqq r-1\)) Ebenen, und es gibt zwei feste lineare (konjugiert imaginäre) \((r - 1)\)-dimensionale Räume, die auf der absoluten Quadrik liegen und von allen Hauptebenen getroffen werden. Ferner: Alle charakteristischen Flächen sind Minimalflächen.