Sur le problème restreint des trois corps. (French) JFM 61.1480.03

Birkhoff, G. D.

Ann. Pisa (2) 4, 267-306 (1935).

Die Differentialgleichungen des restringierten Dreikörperproblems \[ \ddot x-2\dot y=\varOmega_x,\qquad \ddot y+2\dot x=\varOmega_y, \] wobei \(\varOmega=\varOmega(x,y,\mu)=\dfrac12 [(1-\mu)r_1^2+\mu r_2^2]+ \dfrac{1-\mu}{r_1}+\dfrac{\mu}{r_2}\), \(r_1^2=(x-\mu)^2+y^2\), \(r_2^2=(x-\mu+1)^2+y^2\), besitzen das Jacobische Integral \[ \dot x^2+\dot y^2=2\varOmega-C. \] Diese Gleichungen werden für einen festen Wert von \(C\) \(\left(>\root 3\of{32}\right)\) und kleine Werte von \(\mu\) untersucht. Die vorliegende Arbeit verallgemeinert die Methoden und Ergebnisse einer früheren Arbeit des Verf. [Rend. Circ. Mat. Palermo 39, 265–334 (1915; JFM 45.1396.01)]. Die Grundlagen der Methode gehen auf Poincaré zurück: Man beginnt mit dem integrablen Fall \(\mu=0\) und benutzt analytische Fortsetzung. Das Haupthilfsmittel ist die Schnittfläche (surface of section), welche in der oben genannten Arbeit des Verf. behandelt worden ist.
Die Differentialgleichungen des Problems werden zuerst mit Hilfe der Transformation von Thiele und Levi-Civita \[ x-\mu=p^2-q^2, \quad y=2pq,\quad dt=4(p^2+q^2)d\tau \] regularisiert; für die Bewegungszustände erhält man einen endlichen Raum \(S_3\): \[ \begin{gathered} p^{\prime2}+q^{\prime2}-2\varOmega^*(p,q,\mu,C)=0,\\ \varOmega^*(p,q,\mu,C)=2(2\varOmega(\mu+p^2-q^2,2pq,\mu)-C) (p^2+q^2), \end{gathered} \] der überall regulär und analytisch ist und analytisch von \(\mu\) und \(C\) abhängt. \(S_3\) ist homöomorph einem gewöhnlichen dreidimensionalen Raum, in welchem zwei Punkte \((\xi,\eta,\zeta)\) und \((\xi', \eta', \zeta')\) als identisch gelten, wenn \[ \frac{\xi'}{\xi}=\frac{\eta'}{\eta}=\frac{\zeta'}{\zeta}=-\frac1\varrho \;\text{mit} \;\varrho^2=\xi^2+\eta^2+\zeta^2. \] Die transformierten Differentialgleichungen definieren eine permanente Bewegung von \(S_3\) in sich ohne Gleichgewichtspunkt. Die Bewegung läßt das Volumenintegral \(\iint m(Q)dQ\) mit \[ m(Q)=\frac1{\sqrt{2\varOmega^*+2\varOmega^{*2}_p+ 2\varOmega^{*2}_q}} \] invariant.
Im integrablen Falle \(\mu=0\) wird die definierende Gleichung für \(S_3 p^{\prime2} + q^{\prime2} - 2h = 0\) mit \(h = \varOmega^*|_{\mu=0} = 2 (p^2 + q^2)^3 + 4 - 2C(p^2 + g^2)\). Die Fläche \(\sum_2: pp' + qq' = 0\) im \(S_3\) ist geschlossen, überall analytisch und homöomorph einem Torus . Durch die retrograde kreisförmige Bahn \(L_1\) und die direkte kreisförmige Bahn \(L_2\) wird sie in zwei ringförmige Teile \(S_2\) und \(S_2'\) geteilt. Es werde gesetzt \(\varrho=\pm\sqrt{p^2+q^2}\), \(\vartheta=2\operatorname{arctg}\dfrac pq\). \(a_1\) und \(a_2\) seien die Radien von \(L_1\) und \(L_2\). \(S_2\) wird mit Hilfe der normalen Parameter \(\varrho\), \(\theta\) durch folgende Gleichungen bestimmt: \[ p=\varrho\cos\tfrac12\theta, \quad q=\varrho\sin\tfrac12\theta, \quad p'=-\sqrt{2h}\sin\tfrac12\theta,\quad q'=\sqrt{2h}\cos\tfrac12\theta, \] wobei \(-\sqrt{a_1}\leqq\varrho\leqq\sqrt{a_2}\). Die Fläche \(S_2\) ist die Schnittfläche und repräsentiert die Bewegungszustände, die tangential zu den Kreisbahnen liegen, wie sie für Werte \(C^*\geqq C\) der Jacobischen Konstante existieren. \(S_2\) hat folgende Eigenschaften: Die beiden Ränder \(\varrho=-\sqrt{a_1}\) und \(\varrho=\sqrt{a_2}\) sind die retrograde und die direkte kreisförmige Bewegung. Eine Bewegung, welche in dem \((x,y)\)-Koordinatensystem eine rotierende Ellipse mit der großen Halbachse \(a\) ist, wird im \(S_3\) eine Trajektorie, welche \(S_2\) in jedem Intervall \(\dfrac\pi2\sqrt a\) der Zeit \(\tau\) schneidet. Alle solchen Trajektorien (außer \(L_1\) und \(L_2\)) schneiden \(S_2\) im gleichen Sinne unter einem Winkel, der immer von Null verschieden ist. In der Nähe der Ränder von \(S_2\) ist dieser Winkel in \(\varrho+\sqrt{a_1}\) bzw. \(\varrho-\sqrt{a_2}\) von erster Ordnung. Sind \(Q(\varrho,\theta)\) und \(Q_1 (\varrho_1,\theta_1)\) zwei aufeinanderfolgende Punkte, in denen eine Trajektorie \(S_2\) schneidet, so gibt es eine Transformation \[ T:\varrho_1=\varrho, \quad \theta_1=\theta-2\pi a^{\frac32}(\varrho) \] von \(S_2\) in sich, die überall eineindeutig und analytisch ist. Das Problem ist so für \(\mu=0\) auf die Untersuchung von \(T\) zurückgeführt.
Im nichtintegrablen Falle \(\mu>0\) hängen für kleine \(\mu\) und festes \(C(>\root 3\of{32})\) die kreisförmigen Bahnen \(L_1\) und \(L_2\) analytisch von \(\mu\) ab und definieren Rotationszahlen \(k_1(\mu,C)\), \(k_2(\mu, C)\), die durch die Nullstellen der zu \(L_1\) und \(L_2\) gehörigen Jacobischen Gleichungen gegeben sind. Die Funktionen \(k_1(\mu, C)\), \(k_2(\mu, C)\) sind analytisch in \(\mu\) und \(C\) und reduzieren sich auf \(2\pi(1 - a_1^{\frac32})\), \(2\pi(1 - a_2^{\frac32})\) für \(\mu = 0\).
\(L_1^*\) und \(L_2^*\) seien die analytischen Fortsetzungen von \(L_1\) und \(L_2\) für den Wert \(C^*\) der Jacobischen Konstanten und hinreichend kleine \(\mu\). Die Schnittfläche \(S_2\) für \(\mu>0\) und einen gegebenen Wert \(C\) ist definiert als diejenige Flächte, die die zu \(L_1\) und \(L_2\) tangentialen Bewegungen für \(C^*\geqq C\) enthält. Sie ist überall analytisch und in folgender Weise durch die normalen Parameter \(\varrho\) und \(\theta\) (wobei \(\varrho\) die Abszisse des Schnittpunktes von \(L_1^*\) oder \(L_2^*\) mit der \(p\)-Achse bedeutet und \(\theta\) die mittlere Anomalie in \(\tau\), gemessen von der \(p\)-Achse) ausdrückbar: \[ \begin{gathered} p=\varrho(\cos\tfrac12\theta+\varrho^2f_2^*),\quad q=\varrho(\sin\tfrac12\theta+\varrho^2g_2^*), \\ p'=\frac1a\left(-2\sqrt{1-\mu}\sin\tfrac12\theta+\varrho^2\bar f_2^*\right), \quad q'=\frac1a\left(2\sqrt{1-\mu}\cos\tfrac12\theta+\varrho^2\bar g_2^*\right), \end{gathered} \] wo \(f_2^*\), \(g_2^*\), \(\bar f_2^*\), \(\bar g_2^*\) bzw. \(a\) analytische Funktionen von \(\varrho\), \(\theta\), \(\mu\) bzw. \(\varrho\), \(\varrho_0\), \(\mu\) sind mit der Periode \(4\pi\) in \(\theta\) (\(\varrho_0 =\) Wert von \(\varrho\) für \(L_2\)). Der Parameterbereich für \(\varrho\) und \(\theta\) ist durch die Ungleichungen \[ \varrho'\leqq \varrho\leqq\varrho'',\qquad 0\leqq \theta\leqq 2\pi \] gegeben, wo \(\varrho'\), \(\varrho''\) (\(\varrho''=\varrho_0\)) analytisch in \(\dfrac1{\sqrt C}\) und \(\mu\) sind.
\(S_2\) besitzt die folgenden Eigenschaften: Jede Trajektorie (mit Ausnahme von \(L_1\) und \(L_2\)) schneidet \(S_2\) im gleichen Sinne. In der Nähe von \(L_1\) und \(L_2\) ist der Schnittwinkel von der ersten Ordnung in der Entfernung des Schnittpunktes von \(L_1\) und \(L_2\). Sind \(P(\varrho,\theta)\) und \(P_1(\varrho_1, \theta_1)\) zwei aufeinanderfolgende Punkte, in denen eine Trajektorie \(S_2\) schneidet, so ist eine Transformation \[ T: \varrho_1 = f (\varrho,\theta),\qquad \theta_1=\theta+g(\varrho,\theta) \] von \(S_2\) in sich definiert, welche überall eineindeutig und analytisch ist, sogar auf den Rändern \(L_1\) und \(L_2\) von \(S_2\), vorausgesetzt, daß \(\mu\) hinreichend klein ist. \(T\) läßt sich in der Form \(RU\) ausdrücken, wo \(R\) die Spiegelung \(R(\varrho,\theta) = (\varrho, - \theta)\) ist und \(U\) eine zweite involutorische Transformation. \(L_1\) und \(L_2\) werden durch \(T\) mit den Rotationszahlen \(k_1(\mu,C)\) bzw. \(k_(\mu,C)\) ineinander transformiert.
Für hinreichend kleine \(\mu\) (\(\leqq \mu_1\)) kann man kanonische Variablen \(\varrho^*\), \(\theta^*\) einführen, so daß \(T\) folgende Form erhält: \[ \varrho_1^*=\varrho^*+\tilde F_{\theta_1^*}(\varrho^*,\theta_1^*),\quad \theta^*=\theta_1^*+\tilde F_{\varrho_*}(\varrho^*,\theta_1^*), \] wo \(\tilde F\) analytisch in \(\varrho^*\), \(\theta_1^*\) ist und periodisch in \(\theta_1^*\) mit der Periode \(2\pi\), außer auf \(L_1\) und \(L_2\), wo \[ \tilde F\equiv c+\varrho^*F_1(\sqrt{\varrho^*},\theta_1^*) \;\text{ bzw. } \;\tilde F\equiv d+ (1- \varrho^*)F_2 (\sqrt{1-\varrho^*}, \theta_1^*) \] gilt mit Funktionen \(F_1\) und \(F_2\) die analytisch von ihren Argumenten abhängen. \(F\) genügt der Gleichung \[ \tilde F(\varrho^*,\theta_1^*)-\tilde F(\varrho_1^*,-\theta^*)= (\varrho^*-\varrho^*_1)(\theta^*-\theta_1^*). \]
Für hinreichend kleine \(\mu\) (\(\leqq \mu_k\)) kann die iterierte Transformation \[ T^k \qquad (k=\pm 1,\pm 2,\ldots) \] in folgender Form ausgedrückt werden: \[ \varrho_k^*=\varrho^*+\tilde F_{\theta^*_k}^{(k)}(\varrho^*,\theta_k^*),\quad \theta^*=\theta_k^*+\tilde F_{\varrho^*}^{(k)}(\varrho^*,\theta_k^*), \] wobei \[ \begin{split} \tilde F^{(k)}(\varrho^*,\theta_k^*)\equiv \tilde F(\varrho^*,\theta_1^*)+\cdots+\tilde F(\varrho^*_{k-1},\theta_k^*)\\ +\varrho^*(\theta_1^*-\theta_k^*) +\varrho^*_1(\theta_2^*-\theta_1^*)+\cdots +\varrho^*_{k-1}(\theta_k^*-\theta_{k-1}^*). \end{split} \] Es folgt dann, daß die Fixpunkte von \(T^k\), für welche \(\theta\) um \(2l\pi\) wächst, (für \(\mu\leqq \mu_k\)) genau die kritischen Punkte der Funktion \[ \tilde F^{(k,l)}(\varrho^*,\theta^*)\equiv \tilde F^{(k)}(\varrho,\theta)+2l\pi\varrho^* \] sind.
Auf Grund dieser Ergebnisse ist, wie Verf. zeigt, für hinreichend große \(C\) und kleine \(\mu\) die Existenz von solchen periodischen Bewegungen wahrscheinlich, die nicht symmetrisch in bezug auf die \(x\)-Achse, aber approximativ-symmetrisch in bezug auf die \(y\)-Achse sind und sich für \(\mu=0\) auf nichtsymmetrische Bewegungen reduzieren; eine endgültige Entscheidung dieser Frage erfordert die explizite Berechnung der Koeffizienten einer gewissen Potenzreihe.

Reviewer: Martin, M. H., Dr. (Maryland)

MSC:

70F07

Three-body problems

JFM Section:

Zweiter Halbband. Sechster Abschnitt. Mechanik. Kapitel 3. Statik und Dynamik.

Keywords:

restricted three-body problem

Citations:

JFM 45.1396.01