The theory of representations for Boolean algebras. (English) JFM 62.0033.04

Stone, M. H.

Trans. Amer. math. Soc. 40, 37-111 (1936).

In vorliegender Arbeit werden die Booleschen Algebren mittels der Begriffe und Methoden der modernen abstrakten Algebra behandelt. Ein Boolescher Ring wird definiert als ein Ring, worin jedes Element \(a\) idempotent ist, also \(aa = a\). Es wird gezeigt, daß jeder solche Ring kommutativ und immer \(a + a = 0\) ist. Ist ein Einheitselement \(e\) vorhanden, d. h. \(ae=a\) für alle \(a\), so stellt der Ring eine Boolesche Algebra dar, wenn man zwei Operationen \(\vee\) und \('\) einführt durch die Beziehungen \[ a\vee b=a+b+ab,\;\;a'=a+e. \] Im ersten Kapitel wird weiter gezeigt, daß ein Boolescher Ring dann und nur dann eine Basis von Atomelementen hat, d.h. jedes Element eine endliche Summe von Atomelementen ist, wenn er mit der Algebra aller endlichen Unterklassen einer endlichen oder unendlichen Menge isomorph ist.
Im zweiten Kapitel werden solche Begriffe wie Unterringe, Ideale und Homomorphismen näher studiert. Für jede Untermenge \(M\) eines Booleschen Ringes nennt Verf. die Menge aller Elemente \(a\) des Ringes, die mit jedem Element \(b\) von \(M\) die Beziehung \(ab = 0\) erfüllen, das Orthokomplement \(M'\) von \(M\). Für jedes Ideal \(\mathfrak a\) gilt dann \(\mathfrak a\subset\mathfrak a''\) und \(\mathfrak a'=\mathfrak a'''\). Verf. setzt \(\mathfrak a\equiv\mathfrak b\), wenn \(\mathfrak a'=\mathfrak b'\) ist; dann gibt es in jeder Kongruenzklasse genau ein normales Ideal \(\mathfrak a\), d. h. \(\mathfrak a=\mathfrak a''\). Die Kongruenzklassen bilden die Elemente eines Booleschen Ringes mit Einheitselement. Man merkt hier die große Ähnlichkeit mit gewissen Sätzen über die Heytingsche Aussagenlogik. Es folgen mehrere Sätze über besondere Ideale, wie z. B. Hauptideale und Primideale, und über Homomorphismen.
Im dritten Kapitel werden die Klassenalgebren studiert. U. a. wird der Satz bewiesen, daß ein abstrakter Boolescher Ring \(B\) dann und nur dann isomorph ist mit der Algebra \(A\) aller Unterklassen einer Klasse \(E\), wenn jedes normale Ideal aus \(B\) ein Hauptideal ist und \(B\) ein vollständiges Atomsystem enthält; das letzte bedeutet, daß jedes Element von \(B\) eine Summe von endlich oder unendlich vielen Atomelementen ist.
In dem letzten Kapitel wird das Problem behandelt, alle Klassenalgebren zu finden, welche mit einem gegebenen Booleschen Ringe homomorph sind. Mit Hilfe transfiniter Induktion wird hier bewiesen, daß in jedem Booleschen Ringe mit mindestens zwei Elementen Primideale existieren, woraus der Hauptsatz folgt, daß jedes vom Einheitsideal verschiedene Ideal das Produkt aller seiner Primidealteiler ist. Verf. bemerkt zum Schluß, daß ohne Berufung auf transfinite Methoden der letzte Hauptsatz damit gleichwertig ist, daß jeder Boolesche Ring mit einer Klassenalgebra isomorph ist. (III 5 B.)

Reviewer: Skolem, T., Dr. (Oslo)

JFM Section:

Erster Halbband. Zweiter Abschnitt. Grundlagen der Mathematik. Abstrakte Mengenlehre.