×

The Eulerian functions of a group. (English) JFM 62.0082.02

Unter einer Basis der endlichen Gruppe \(\mathfrak{G}\) werde ein System \((X_1, \, X_2, \ldots \!,X_n)\) von erzeugenden Elementen verstanden. Zwei Basen heißen gleich nur dann, wenn sie die gleichen Elemente enthalten, und zwar in derselben Reihenfolge. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der folgenden Frage: Wieviele Basen besitzt \(\mathfrak{G}\), welche der Nebenbedingung \[ f_1 \, (X_1, \ldots \!,X_n) = f_2 \, (X_1, \ldots \!,X_n) = \cdots = 1 \tag{*} \] genügen? Dabei sind die \(f_i(x_1, \ldots \!,x_n)\) vorgegebene Potenzprodukte der \(X_{\nu}\) und \(X_{\nu}^{-1}\).
Die gesuchte Anzahl \(\varPhi\) ist, wie leicht ersichtlich, durch die Anzahl der Automorphismen von \(\mathfrak{G}\) teilbar. Der komplementäre Faktor \(d\) besitzt eine wichtige Bedeutung für die abstrakte Gruppe \(\mathfrak{F}\), die durch die Relationen (*) definiert wird: Er ist gleich der Anzahl der Normalteiler von \(\mathfrak{F}\), deren Faktorgruppe zu \(\mathfrak{G}\) isomorph ist. \(d\) hängt also, außer von \(\mathfrak{G}\), nur von der Struktur von \(\mathfrak{F}\) ab und kann daher mit \(d_{\mathfrak{F}}(\mathfrak{G})\) bezeichnet werden; ebenso gilt \(\varPhi=\varPhi_{\mathfrak{F}}(\mathfrak{G})\). In \(\varPhi_{\mathfrak{F}}(\mathfrak{G})\) hat man eine Verallgemeinerung der Eulerschen Funktion \(\varphi(m)\) vor sich; ist nämlich \(\mathfrak{G}\) die zyklische Gruppe der Ordnung \(m\) und \(\mathfrak{F}\) die freie Gruppe einer Erzeugenden, so ist \(\varphi(m) = \varPhi_{\mathfrak{F}}(\mathfrak{G})\). Daß bei dieser sehr weiten Verallgemeinerung doch noch wesentliche Züge erhalten bleiben, zeigt sich in der Art der Berechnung von \(\varPhi_{\mathfrak{F}}(\mathfrak{G})\), die im zweiten Teil der Arbeit erläutert wird.
Bezeichnet man die Anzahl aller Lösungen der Gleichungen (*) mit Elementen aus einer Gruppe \(\mathfrak{K}\) mit \(\sigma_{\mathfrak{F}}(\mathfrak{K})\), so gilt offenbar \[ \sigma_{\mathfrak{F}}(\mathfrak{G})=\sum_{\mathfrak{K} \leqq \mathfrak{G}} \varPhi_{\mathfrak{F}}(\mathfrak{K}). \] Sieht man nun \(\sigma_{\mathfrak{F}}(\mathfrak{K})\) als bekannt an (hier findet man Anschluß an des Verf. Arbeit: On a theorem of Frobenius, Proc. London math. Soc, 40 (1935), 468-501; F. d. M. 61\(_{\text{II}}\)), so führt die Aufgabe der Berechnung von \(\varPhi_{\mathfrak{F}}(\mathfrak{G})\) zu einer weitgehenden Verallgemeinerung des Möbiusschen Umkehrangsverfahrens; im wesentlichen die gleiche Verallgemeinerung hat kurz zuvor L. Weisner veröffentlicht: Abstract theory of inversion of finite series, Trans. Amer. math. Soc. 38 (1935), 474-484 (F. d. M. 61\(_{\text{II}}\)). Es wird \[ \varPhi_{\mathfrak{F}}(\mathfrak{G})=\sum_{\mathfrak{K} \leqq \mathfrak{G}} \mu_{\mathfrak{G}} \, (\mathfrak{K}) \, \sigma_{\mathfrak{F}}(\mathfrak{K}), \] wobei \(\mu_{\mathfrak{G}}\, (\mathfrak{K})\) allein von der Anordnung der Untergruppen zwischen \(\mathfrak{K}\) und \(\mathfrak{G}\) abhängt. Die Berechnung von \(\mu_{\mathfrak{G}}\, (\mathfrak{K})\) wird eingehend untersucht und an zahlreichen Beispielen erläutert. Zum Schluß werden für spezielle Gruppen, nämlich die Alternierende des Grades 6 und die einfachen Gruppen \(M^p\) der Ordnung \(\frac{1}{2}p(p^2-1)\), die Anzahlen gewisser Basen wirklich aufgestellt. Es ergibt sich, um ein Beispiel anzuführen, daß die Ikosaedergruppe \(M^5\) sich auf 19 nicht durch einen Automorphismus auseinander hervorgehende Arten aus zwei Elementen erzeugen läßt; nach der zu Anfang entwickelten Theorie kann dies auch so ausgesprochen werden: Das direkte Produkt von 19 Ikosaedergruppen kann noch durch zwei Elemente erzeugt werden, das Produkt von mehr als 19 aber nicht.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI