A construction for prime ideals as absolute values of an algebraic field. (English) JFM 62.0096.02

MacLane, S.

Duke math. J. 2, 492-510 (1936).

Verf. verallgemeinert eine Methode von Ore (Acta Math., Uppsala, 44 (1923), 219-314; Math. Ann. 99 (1928), 84-117; F. d. M. 49, 698-699; 54,191) zur Konstruktion von Primidealfaktoren einer rationalen Primzahl \(p\) in einem algebraischen Zahlkörper. Zur einfachen Beschreibung der Verallgemeinerung ist es notwendig, die Primideale durch die ihnen entsprechenden Bewertungen zu ersetzen. Das Problem kann dann so formuliert werden: Gegeben ein Körper \(K\) und eine separable Erweiterung \(K(\theta)\), erzeugt durch eine Wurzel \(\theta\) des irreduziblen Polynoms \(G(x)\); es sind alle Fortsetzungen \(W\) der gegebenen diskreten Bewertung \(V_0\) von \(K\) zum Körper \(K(\theta)\) zu konstruieren.
Zunächst wird das Problem reduziert auf die Konstruktion jener Bewertungen \(V\) für den Polynomring \(K[x]\), welche Fortsetzungen von \(V_0\) sind und dem Polynom \(G(x)\) den Wert \(+\infty\) zuordnen. Alle Bewertungen dieses Polynomrings können durch sukzessive Approximationen \(V_1,V_2,\ldots\) konstruiert werden. Diese Approximationen, welche schließlich \(G\) den gewünschten Wert \(+\infty\) geben, werden Näherungen (“approximants”) zu \(G\) genannt. Jede solche Näherung ist selbst eine Bewertung \(V_k\) des Polynomrings und kann aus einer vorhergehenden Näherung \(V_{k-1}\) konstruiert werden, indem man eine eindeutige “Äquivalenz”-Zerlegung von \(G(x)\) und ein “Newtonsches Polygon” von \(G(x)\) bezgl. \(V_{k-1}\) benutzt. Nach einer endlichen Anzahl von Schritten erhält man ein System von Näherungen, das der gewünschten Bewertung oder den Primidealen von \(K(\theta) \)entspricht. Es gibt nur eine endliche Anzahl von Fortsetzungen \(W',\ldots, W^{(s)}\) der gegebenen Bewertung \(V_0\) von \(K\) zum Körper \(K(\theta)\). Überdies ist \(\sum\limits_{i=1}^s e_if_i=n\), wenn \(e_i\) und \(f_i\) Grad und Ordnung der Bewertung \(W^{(i)}\) bezgl. \(K\) bezeichnen. Für letztere Tatsache wird durch Berechnung der Grade der Primideale ein konstruktiver Beweis gegeben. (III 7.)

Reviewer: Schmid, Hermann Ludwig, Dr. (Augsburg)

JFM Section:

Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Gruppentheorie. Abstrakte Algebra. B. Ringe, Körper.