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L’arithmétique dans les algèbres de matrices. 33 p. (Exposés mathématiques XIV.). (French) JFM 62.0102.01

Actual. sci. industr. 323 (1936).
Die bisher entwickelte Arithmetik der halbeinfachen hyperkomplexen Systeme legt die Frage nahe, wie man allgemein in einem vollständigen Matrizenring über einem (nicht notwendig kommutativen) Körper \(k\) eine Arithmetik einführen kann, wenn dies in \(k\) bereits geschehen ist. Verf. legt den Begriff der “regulären Arithmetik” zugrunde. In einem Ring \(\mathfrak S\) mit Einselement, in dem jeder Nichtnullteiler ein inverses Element hat, bestimmen die Moduln \(\mathfrak A\), \(\mathfrak B,\ldots\), \(\mathfrak O,\ldots\) (die “Ideale”) eine reguläre Arithmetik, wenn sie bezüglich der Modulmultiplikation als ein Gruppoid mit folgenden Eigenschaften aufgefaßt werden können: Linkseinheit, Rechtseinheit, inverses Ideal von \(\mathfrak A\) bestehen aus den sämtlichen Elementen \(\lambda\), \(\lambda'\), \(\mu\) mit \(\lambda\mathfrak A\subset \mathfrak A\), \(\mathfrak A\lambda'\subset\mathfrak A\), \(\mathfrak A\mu\mathfrak A\subset \mathfrak A\). Jedes Element aus \(\mathfrak S\) läßt sich als Produkt eines Elements aus \(\mathfrak A\) und des Inversen eines Elements aus \(\mathfrak A\) darstellen. Ist \(\mathfrak O\) eine Einheit des Gruppoids, so sind die Ideale, die \(\mathfrak O\) als Linkseinheit besitzen, identisch mit den \(\mathfrak O\)-Linksmoduln mit Teilerkettenbedingung, die einen Nichtnullteiler enthalten. (Auf diese Forderungen läßt sich bereits die Theorie der gleichseitigen Ideale aufbauen, und man kann von ganzen Idealen, bei Idealen mit derselben Links- oder Rechtseinheit auch von dem größten gemeinsamen Teiler sowie von Idealklassen sprechen.) Weiter soll es in jeder Links- und Rechtsidealklasse ein ganzes Ideal geben, das zu einem vorgegebenen ganzen Ideal teilerfremd ist.
Ist \(\mathfrak S\) das vollständige System der \(n\)-reihigen Matrizen mit Koeffizienten aus \(k\), so läßt sich, wie Verf. zeigt, jede reguläre Arithmetik von \(k\) zu einer regulären Arithmetik von \(\mathfrak S\) fortsetzen; die Konstruktion gestattet Aussagen über den Zusammenhang zwischen den Idealklassen in \(\mathfrak S\) und in \(k\), insbesondere bei kommutativem \(k\).
Als wesentliches Hilfsmittel benutzt Verf. diejenigen Linearformenmoduln \(\mathfrak M\), \(\mathfrak M',\ldots\) des Ranges \(n\) in \(n\) Veränderlichen, die in bezug auf eine feste “Maximalordnung” (Gruppoideinheit) \(\mathfrak o\) von \(k\) \(\mathfrak o\)-Linksmoduln mit Teilerkettenbedingung sind. Diese Moduln sind direkte Summen der Gestalt \[ \mathfrak M=\mathfrak o u_1+\cdots+\mathfrak o u_{n-1}+\mathfrak a u_n \] (\(u_i\) in \(\mathfrak M\), \(\mathfrak a\) ein \(\mathfrak o\)-Linksideal). Als Ideal \(\mathfrak A=\{\mathfrak M,\mathfrak M'\}\) definiert Verf. nun die Gesamtheit der \(\varphi\subset\mathfrak S\) mit \(\mathfrak M\varphi\subset \mathfrak M'\). Es wird dann \(\mathfrak{MA}=\mathfrak M'\). Daß die so definierten Ideale eine reguläre Arithmetik bestimmen, folgt aus dem Hilfssatz: Ist \(\mathfrak M\) ein Modul aus der oben genannten Reihe, \(\overline{\mathfrak A}\) ein beliebiger \(\{\mathfrak M,\mathfrak M'\}\)-Linksmodul aus \(\mathfrak S\), so enthält \(\overline{\mathfrak A}\) alle Elemente \(\varphi\) aus \(\mathfrak S\) mit \(\mathfrak M\varphi\subset\mathfrak M\overline{\mathfrak A}\).
Die Maximalordnungen von \(\mathfrak S\) sind die Ideale \(\mathfrak O=\{\mathfrak M,\mathfrak M\}\), \(\mathfrak O'=\{\mathfrak M',\mathfrak M'\},\cdots\). Der Satz über die Struktur von \(\mathfrak M\) gestattet die Bestimmung der Struktur von \(\mathfrak O:\mathfrak O\) kann auf die Gestalt \[ \varphi^{-1}\mathfrak O\varphi=\left( \begin{matrix} \mathfrak o & \mathfrak o &\cdots &\mathfrak o & \mathfrak a \\ \mathfrak o & \mathfrak o &\cdots &\mathfrak o & \mathfrak a \\ \hdotsfor5\\ \mathfrak o & \mathfrak o &\cdots &\mathfrak o & \mathfrak a \\ \mathfrak a^{-1} & \mathfrak a^{-1} &\cdots &\mathfrak a^{-1} & \mathfrak o' \\ \end{matrix}\right) \] transformiert werden, worin \(\mathfrak a\) ein \(\mathfrak o\)-Linksideal ist und \(\mathfrak o'\) seine Rechtsordnung. Weiter werden die gleichseitigen \(\mathfrak O\)-Ideale bestimmt; sie bilden eine zur Gruppe der gleichseitigen \(\mathfrak o\)-Ideale isomorphe Gruppe. Die Anzahl der \(\mathfrak O\)-Linksidealklassen ist gleich der Maximalzahl von paarweise nicht \(\mathfrak o\)-isomorphen unter den \(\mathfrak M\), \(\mathfrak M',\ldots\); sie ist also von \(\mathfrak O\) unabhängig und ist höchstens gleich der Anzahl der \(\mathfrak o\)-Linksidealklassen (bei kommutativem \(k\) genau gleich). Im kommutativen Fall wird auch die Anzahl der Typen von Maximalordnungen in \(\mathfrak S\) bestimmt: sie ist gleich dem Index \([\mathfrak K: \mathfrak K^n]\), wenn \(\mathfrak K\) die Idealklassen von \(k\) bezeichnet. Ist \(K\) ein Teilkörper von \(\mathfrak S\) vom Relativgrad \(n\) über \(k\), so kann mit den Hilfsmitteln der \(p\)-adik die Anzahl der Typen von Maximalordnungen von \(\mathfrak S\) ermittelt werden, die einen zur Maximalordnung \(\varOmega\) von \(K\) isomorphen Teilring enthalten: sie ist gleich dem Index derjenigen Idealklassen von \(k\), die \(n\)-te Potenzen sind, unter denjenigen, die Normen aus \(K\) enthalten. Außerdem ergeben sich zwei Kennzeichnungen der Ideale von \(K\), deren Normen in bezug auf \(k\) Hauptideale sind: Es sind diejenigen Ideale, die als \(\mathfrak o\)-Moduln betrachtet \(\mathfrak o\)-isomorph zu \(\varOmega\) sind, oder auch diejenigen, die in einer \(\varOmega\) umfassenden Maximalordnung von \(\mathfrak S\) Hauptideale werden.
In einem Anhang geht Verf. auf die Elementarteilertheorie im Bereich der ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers ein. Er beweist auf neuem Wege das Analogon zur Kronecker-Smithschen Normalform in folgender Fassung: Sind \(\mathfrak N\), \(\mathfrak P\) zwei Linearformenmoduln über einem kommutativen Körper \(k\) mit regulärer Arithmetik, die \(\mathfrak o\)-Moduln mit Teilerkettenbedingung und mit \(k\mathfrak N=k\mathfrak P\) sind, so gibt es zwei direkte Zerlegungen in Summanden vom Rang 1 \[ \mathfrak N=\mathfrak N_1+\cdots+\mathfrak N_n,\quad \mathfrak P=\mathfrak P_1+\cdots+\mathfrak P_n \] so daß \(\mathfrak P_i=\mathfrak e_i\mathfrak N_i\) (\(i =1,2,\ldots, n\)), wobei die \(\mathfrak e_i\) Ideale sind, von denen jedes das folgende teilt. (III 2.)