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A problem on the additive theory of number of several variables. (English) JFM 62.0150.02
\(P (x, y)\) und \(P'(x, y)\) seien ganzwertige Polynome. Zu keiner Primzahl \(p\) gebe es ganze rationale Zahlen \(q\), \(q'\), \(l\) so, daß identisch \(qP(x, y) + q'P'(x, y)\equiv l\pmod p\) ist und \(q\), \(q'\) nicht beide durch \(p\) teilbar sind. Dann wird bewiesen, daß man für passendes \(s\) ein System von \(s\) Zahlen \(\varepsilon_1\),…, \(\varepsilon_s\) so angeben kann, daß jedes \(\varepsilon_\nu\) einen der Werte 1 und \(- 1\) hat und je zwei ganze rationale Zahlen \(n\) und \(n'\) simultan in der folgenden Gestalt darstellbar sind: \(n\) ist Summe von \(s\) Zahlen von der Gestalt \(\varepsilon_\nu P(x_\nu, y_\nu)\) (\(\nu=1\),…, \(s\)) mit ganzen rationalen \(x_\nu\) und \(y_\nu\), und \(n'\) ist die Summe der mit denselben \(x_\nu\) und \(y_\nu\) gebildeten Werte \(\varepsilon_\nu P'(x_\nu, y_\nu)\). Der Beweis verläuft mit Mitteln der Differenzenrechnung; die diophantischen Gleichungen werden dabei zunächst durch Kongruenzen ersetzt. Ist \(k\) der größte der beiden Grade von \(P\) und \(P'\), so zeigt sich, daß schon ein \(s\leqq2^kk-1\) das Gewünschte leistet. Für die Verallgemeinerung des Problems auf \(t\) Veränderliche wird zum Schluß ein entsprechender Satz mit \(s=O(2^kk^{t-1})\) erwähnt.
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