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On the arithmetical density of the sum of two sequences one of which forms a basis for the integers. (English) JFM 62.0152.01

Es sei \(a_1\), \(a_2\), …eine monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen; für ganzes \(n > 0\) sei \(f (n)\) die Anzahl der \(\nu\) mit \(a_\nu\leqq n\). Als Dichte der Folge \(a_1\), \(a_2\), …wird dann die untere Grenze von \(\dfrac{f(n)}n\) (\(n\geqq1\)) bezeichnet. Eine monoton wachsende Folge ganzer Zahlen \(A_0= 0\), \(A_1\), \(A_2\), …bildet für die natürlichen Zahlen eine “Basis \(l\)-ter Ordnung” (\(l\geqq1\) ganz), wenn sich jede natürliche Zahl als Summe von höchstens \(l\) (also auch von genau \(l\)) Zahlen \(A_\nu\) darstellen läßt. Verf. beweist: Hat die Zahlenfolge \(a_1\), \(a_2\), …die Dichte \(\delta\) und bildet die Zahlenfolge \(A_0= 0\), \(A_1\), \(A_2\), …für die natürlichen Zahlen eine Basis \(l\)-ter Ordnung, so hat die Folge der wachsend geordneten Zahlen von der Gestalt \(a_i +A_k\) eine Dichte \(\geqq\delta+\dfrac{\delta(1-\delta)}{2l}\).

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