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Äquivalenz Hermitescher Formen über einem beliebigen algebraischen Zahlkörper. (German) JFM 62.0170.01
Die Methoden, mit denen Hasse die quadratischen Formen über einem beliebigen algebraischen Zahlkörper behandelt hat (J. reine angew. Math. 152 (1923), 129-148, 205-224; 153 (1923), 12-43, 113-130; F. d. M. 49, 102 (JFM 49.0102.*), 104, 114; 50, 104), lassen sich mit einer kleinen Modifikation auch auf Hermitesche Formen anwenden. – Sei \(k\) irgendein algebraischer Zahlkörper mit dem quadratischen Oberkörper \(\varOmega = k (\sqrt a)\) (\(a\) in \(k\)). Der Automorphismus \(\sqrt a \to -\sqrt a\) von \(\varOmega/k\) werde durch \(\alpha \to \bar \alpha\) bezeichnet. Unter einer Hermiteschen Form \(f\) der Matrix \(A = (a_{ik})\) über \(\varOmega\) wird ein Ausdruck der Gestalt \[ f = \sum_{i,k=1}^n a_{ik}x_i\bar x_k \] verstanden mit \(a_{ki} = \bar a_{ik}\). Man kann \(f\) auf Diagonalgestalt \[ f = \sum_{i=1}^n a_{ii} x_ix_i \tag \(^*\) \] bringen.
Für nicht ausgeartete Formen \((|A| \neq 0)\) ergibt sich als vollständiges Invariantensystem für die (durch Transformationen \(A^* = S'A\bar S\) mit regulärem \(S\) über \(\varOmega\) definierte) Äquivalenz in \(k\): (1) die Anzahl der negativen \(a_{ii}\) für diejenigen unendlichen Primstellen \(\mathfrak p_\infty\) von \(k\), an denen \(a < 0\) ist, (2) das System der Normenrestsymbole \(d_{\mathfrak p} = \left(\dfrac {|A|,a}{\mathfrak p}\right)\) für alle Primstellen \(\mathfrak p\) von \(k\). – Verf. gibt auch die Bedingungen der Darstellbarkeit sowohl einer Zahl \(m \neq 0\) aus \(k\) als auch der Null durch \(f\). Desgleichen wird die Darstellung irgendeiner Hermiteschen Form \(g\) durch \(f\) diskutiert. Zum Schluß wird noch ein vollständiges Invariantensystem für die multiplikative Äquivalenz \(A^* = tS'A\bar S\) mit \(t \neq 0\) aus \(k\) aufgestellt.
Das Beweisprinzip für alle genannten Tatsachen liegt in der Anwendung der Hasseschen Resultate auf die quadratische Form \[ f(y_i,z_i) = \sum_{i=1}^n a_{ii}(y_i^2 - az_i^2), \] die aus \((^*)\) durch die Variablensubstitution \(x_i= y_i - \sqrt a z_i\) (\(i = 1,\ldots, n\)) hervorgeht.

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