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Diophantische Approximationen. (German) JFM 62.0173.01

Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 4, Nr. 4. Berlin: Julius Springer. vi, 157 S. (1936).
Die Ergebnisse und Methoden dieses in den letzten Jahrzehnten so erfolgreich bearbeiteten Gebietes werden in dem vorliegenden Heft mit äußerster Klarheit und Übersichtlichkeit aufgeführt. Ein Verzeichnis der Kapitelüberschriften mag über den umfassenden Inhalt des Heftes orientieren:
I. Einleitung. II. Geometrie der Zahlen. Systeme linearer Formen.
III–V. Der homogene lineare Fall: (III.) Der eindimensionale homogene lineare Fall und die Kettenbrüche; (IV.) Irrationalität und Transzendenz; (V.) Zahlensystem und Näherungsform.
VI–VII. Der inhomogene lineare Fall: (VI.) eindimensional; (VII.) \(n\)-dimensional.
VIII. Asymptotische Verteilung reeller Zahlen (mod 1). IX. Abschätzungen des Fehlergliedes und verwandter Größen. X. Diophantische Ungleichungen.
Daran schließt sich ein 30 Seiten langes exaktes Literaturverzeichnis an, das dem Heft auch den Wert eines Nachschlagewerks verleiht. Es ist erstaunlich, zu sehen, wie es dem Verf. gelingt, auf dem verbleibenden beschränkten Raum die Fülle des verarbeiteten Stoffes unterzubringen und auch an entscheidenden Stellen die Beweise derart einfach durchzuführen, daß selbst ein Anfänger mit Erfolg das Heft durcharbeiten könnte. Verf. beschränkt sich dabei nicht auf das Berichten von in der Literatur bekannten Beweismethoden, sondern gibt an mehreren Stellen Eigenes und Neues hinzu.
Auch die Anwendungen der diophantischen Approximationen werden behandelt; jedoch beschränkt sich Verf. hier auf das Angeben der Ergebnisse, allerdings mit ausführlichen und gewissenhaften Literaturhinweisen.

MSC:

11Jxx Diophantine approximation, transcendental number theory
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11Hxx Geometry of numbers
11Kxx Probabilistic theory: distribution modulo \(1\); metric theory of algorithms