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On an exponential sum. (English) JFM 62.0178.01

Es seien \(q\), \(k\) und \(m\) natürliche Zahlen, \(q > 1\), \(k > 2\). Mit ganzem \(a\) und \((a,q)= 1\) sei \[ S_{a,q} = \sum_{x=1}^q e^{\tfrac{2\pi iax^k}{q}}. \] Die Verf. beweisen: \[ \sum_{x=1}^m e^{\tfrac{2\pi iax^k}{q}} = \frac mq S_{a,q} + O\left(q^{\tfrac 34+\varepsilon}\right) \tag{1} \] für jedes \(\varepsilon > 0\). Dazu zeigen sie zuerst, daß \[ \sum_{x=1}^q e^{\tfrac{2\pi i(ax^k+bx)}{q}}= O\left(q^{\tfrac 34+\varepsilon}(q,b)\right). \tag{2} \] In bekannter Weise folgt dann unter Benutzung der Fourierreihe für die Funktion \(t-[t] - \frac 12\) die Behauptung (1).
Bemerkung: Bei dem Beweise ihres Lemma 1 (Beweis von (2), falls \(q\) prim ist) zitieren die Verf. eine Note von Mordell, Quart. J. Math. (Oxford Ser.) 3 (1932), 161-167 (JFM 58.0191.*). Das Lemma 1 findet sich aber schon bei Hardy und Littlewood, Quart. J. Math. 48 (1919), 273-293 (F. d. M. 47, 114-115), in der Fußnote auf S. 277. Auch die Beweismethode des Lemma l stammt nicht von Mordell, sondern ebenfalls von Hardy und Littlewood, und ist dann von Kloosterman (Acta Math., Uppsala, 49 (1927), 407-464; F. d. M. 53, 155 (JFM 53.0155.*)-157) zur Abschätzung verwandter Summen benutzt worden.

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