×

Sur l’équivalence des suites d’ensembles et l’équivalence des fonctions. Correction. (French) JFM 62.0230.01

Der übliche Begriff der Äquivalenz von Mengen wird folgendermaßen verallgemeinert: Gegeben seien irgend zwei Räume \(X\) und \(Y\) von gleicher Mächtigkeit. Zwei in \(X\) bzw. \(Y\) definierte mathematische Objekte \(A\) und \(B\) (z. B. Mengen, Mengenklassen, Folgen von Mengen, Funktionen, Funktionenfolgen) werden als “äquivalent” bezeichnet, wenn eine eineindeutige Abbildung von \(X\) nach \(Y\) existiert, die \(A\) in \(B\) transformiert.
Als wesentliches Hilfsmittel für die eingehende Untersuchung dieses Äquivalenzbegriffes wird in § 1 die “charakteristische Funktion einer Mengenfolge” eingeführt (als Verallgemeinerung der charakteristischen Funktion einer Menge): Ist \(e = \{E_n\}\) eine Folge von Mengen des Raumes \(X\), so wird für jedes \(x\in X\) gesetzt (mit triadisch zu lesendem Systembruch): \[ f_e(x) = 0, i_1i_2i_3\ldots,\qquad\text{wobei}\;\begin{cases} i_n=0,\qquad\text{wenn}\quad x\bar\in E_n,\\ i_n=2,\qquad\text{wenn}\quad x\in E_n. \end{cases} \] Es ergibt sich dann (§ 2): Dafür, daß zwei Mengenfolgen äquivalent seien, ist notwendig und hinreichend, daß ihre charakteristischen Funktionen äquivalent sind. Dadurch ist es möglich, Äquivalenzuntersuchungen der Mengenfolgen auf die der Funktionen zurückzuführen. Für Funktionen, deren Werte einem Raum \(Z\) angehören, gilt nun der Satz: Dafür, daß zwei (in \(X\) bzw. \(Y\) definierte) Funktionen \(g(x)\) und \(h(y)\) äquivalent seien, ist notwendig und hinreichend, daß für jedes \(z\in Z\) die Mächtigkeit von \(g^{-1}(z)\) gleich der Mächtigkeit von \(h^{-1}(z)\) ist. – Aus Betrachtungen über die Mächtigkeit von Äquivalenz-Typen ergeben sich insbesondere die Sätze: (a) Zu jeder Folge \(e\) von Teilmengen eines Raumes \(X\) von der Mächtigkeit \(\mathfrak c\) existiert eine andere Folge von Teilmengen von \(X\), die zu keiner Teilfolge von \(e\) äquivalent ist. (b) Es existiert eine Folge von nirgends dichten Nullmengen des \(n\)-dimensionalen Einheitswürfels \(I^n\), die zu keiner Folge von projektiven Teilmengen des \(I^n\) äquivalent ist. – Daß (a) nicht mehr für einen abzählbaren Raum \(X\) gilt, hat Sierpiński gezeigt (vgl. nachstehendes Referat).
Während bisher die Räume \(X\), \(Y\), \(Z\) beliebig waren, werden sie nunmehr in § 3 als nichtabzählbare, separable, vollständige, metrische Räume vorausgesetzt. Die hier erzielten Resultate sind besonders bemerkenswert; wir erwähnen die folgenden Sätze: (1) \(N^*\) bezeichne den Raum, der aus allen irrationalen Zahlen von \([0,1]\) und aus allen natürlichen Zahlen besteht. Dann ist jede (auf \(X\) definierte) Bairesche Funktion (mit Werten in \(Y\)) zu einer auf \(N^*\) stetigen Funktion äquivalent. Daraus folgt sogleich: Jede auf \(X\) definierte Bairesche Funktion ist zu einer auf irgendeinem vorgegebenen Raum \(Y\) definierten Funktion erster Klasse äquivalent. (2) Jede Folge Borelscher Mengen von \(X\) ist äquivalent zu einer Folge von zugleich abgeschlossenen und offenen Teilmengen von \(N^*\) sowie auch zu einer Folge von Mengen, die zugleich \(F_\sigma\)- und \(G_\delta\)-Mengen irgendeines vorgegebenen Raumes \(Y\) sind. (3) Es existiert eine Folge von projektiven Mengen, die zu keiner Folge von Borelschen Mengen äquivalent ist. – Allgemeiner ergibt sich auch die Existenz von nicht-äquivalenten Folgen verschiedener Klassen projektiver Mengen. (4) Jede auf \(I^n\) definierte, \(L\)-meßbare Funktion (ebenso jede auf \(X\) definierte Funktion mit der Baireschen Eigenschaft) ist zu einer auf \(I^m\) (mit beliebig vorgegebenem \(m\)) definierten, \(L\)-meßbaren und die Bairesche Eigenschaft besitzenden Funktion äquivalent. (5) In einem beliebigen Raum \(U\) von der Mächtigkeit \(\mathfrak c\) existiert eine reelle Funktion, die zu keiner \(L\)-meßbaren Funktion äquivalent ist, und eine Mengenfolge, die zu keiner Folge von \(L\)-meßbaren Mengen äquivalent ist. (6) Unter Voraussetzung der Kontinuumhypothese existiert in diesem \(U\) auch eine Mengenfolge, von der keine Teilfolge zu irgendeiner Folge von \(L\)-meßbaren Mengen äquivalent ist.
In § 4 wird dann auch für Funktionenfolgen die charakteristische Funktion definiert, und es werden Sätze gewonnen, die zu denen des § 3 analog sind.
Mehrere Ergebnisse des Verf. stellen zugleich Antworten auf Fragen dar, die von Ulam gestellt wurden. Übrigens können die meisten Sätze der Arbeit auch als Sätze über die verallgemeinerte Homöomorphie (im Sinne von Kuratowski) aufgefaßt werden, da nämlich meistens gezeigt wird, daß die betreffende Äquivalenz durch eine verallgemeinerte Homöomorphie realisiert wird. (V 2.)

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML