Sulle funzoni di due variabili generalmente a variazione limitata. (Italian) JFM 62.0247.04

Tonelli, E.

Ann. Scuola norm. sup. Pisa (2) 5, 315-320 (1936).

Tonelli (Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. nat. (6) 3 (1926), 357-362; F. d. M. 52, 251 (JFM 52.0251.*)) hatte gezeigt, daß die durch eine stetige Funktion \(z = f (x, y)\) gegebene Fläche genau dann einen Inhalt im Lebesgueschen Sinne hat, wenn \(f(x, y)\) in dem von Tonelli eingeführten Sinne von beschränkter Schwankung ist. Hieraus folgt, daß der Begriff “Funktion von beschränkter Schwankung” bei stetigen Funktionen von der Richtung der \(x\)- und \(y\)-Achse unabhängig ist. Bei unstetigen Funktionen besteht diese letzte Tatsache, wie C. R. Adams und J. A. Clarkson (Trans. Amer. math. Soc. 36 (1934), 711-730 (JFM 60.0201.*-202), insbes. S. 726-727) durch ein Beispiel belegt haben, im allgemeinen nicht mehr. Cesari rechnet Funktionen \(f(x, y)\) zu einer Klasse \(T^*\) von Funktionen mit beschränkter Schwankung in einem verallgemeinerten Sinne, wenn sie nach Herausnahme einer passend gewählten Menge vom Maß Null in der \((x,y)\)-Ebene in dem ursprünglichen Tonellischen Sinne von beschränkter Schwankung sind, und zeigt, daß die durch quasi-stetige Funktionen (Enzykl. math. Wiss. II\(_3\), C 9 c (1924; F. d. M. 50; 176-178) S. 1184) gegebenen Flächen genau dann einen Inhalt im verallgemeinerten Lebesgueschen Sinne haben, wenn sie zur Klasse \(T^*\) gehören.
Tonelli zeigt, wie dieses Ergebnis auf einfacherem Wege durch eine Abänderung seines früheren Beweises erhalten werden kann.

Reviewer: Kamke, E., Prof. (Tübingen)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Theorie der reellen Funktionen. B. Maßtheorie und Integrale.

Citations:

JFM 52.0251.*; JFM 60.0201.*