×

zbMATH — the first resource for mathematics

On the differentiation of additive functions of rectangles. (English) JFM 62.0264.04
Zunächst wird ein für Funktionen einer Veränderlichen bekannter Satz auf den zweidimensionalen Fall ausgedehnt: Sind die untere und die obere zweidimensionale Ableitung (um diese vom Ref. eingeführten Begriffe (K. Bögel, J. reine angew. Math. 170 (1934), 197-217; 173 (1935), 5-30; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 215-216; \(61_{\text{I}}\), 254) handelt es sich, ohne daß sie erwähnt werden; mit ihrer Hilfe treten die Ergebnisse deutlicher hervor) von \(f(x, y)\) überall auf der Menge \(E\) endlich, so sind sie fast überall auf \(E\) einander gleich. Ist aber auf \(E\) nur \(\underline{D}(x,y)f>-\infty \) vorausgesetzt, so ist nur die Existenz einer über reguläre Rechtecksfolgen gebildeten Ableitung \(D_r(x, y)f\) gewährleistet. Schließlich sei \(\underline{D}(x,y)f(x_1, y_1)>-\infty \) und \(\eta>0\). Versteht man dann unter \(G(x_1, y_1, \eta )\) die Menge aller Punkte \((x, y)\), in denen \[ \biggl|\,\frac{\varDelta f[x_1, y_1; x, y]}{(x-x_1)\,(y-y_1)} \underline{D}(x,y)f(x_1, y_1)\biggr|>\eta \] ist, so gilt der Satz: Ist überall \(\underline{D}(x,y)f>-\infty \) auf \(E\) und \(\eta > 0\), so ist fast überall auf \(E\) \[ \lim_{d(S)\to0}\frac{\mu _e[SEG(x, y, \eta)]}{\mu S}=0, \] wenn \(S\) irgendein \((x, y)\) enthaltendes Quadrat ist.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML