×

Sur une classe de fonctions indéfiniment dérivables. (French) JFM 62.0269.02

Als Funktionen der Klasse (\(R\)) werden für ein endliches Intervall \((a, b)\) alle reellen Funktionen \(f(x)\) der reellen Veränderlichen \(x\) bezeichnet, welche die folgenden Eigenschaften aufweisen: (1) \(f(x)\) ist in \((a, b)\) definiert und besitzt daselbst Ableitungen jeder Ordnung. (2) Eine Teilfolge \(\{f^{(n_k)} (x)\}\) der Ableitungen erfüllt in \((a, b)\) Ungleichungen \[ \bigl|\,f^{(n_k)} (x)\,\bigr|<A\lambda ^{n_k}n_k\,!, \] verhält sich also in \((a, b)\) wie die gesamte Folge der Ableitungen einer in einem \((a, b)\) enthaltenden Intervall analytischen Funktion. Diese Funktionen bilden eine Teilmenge der nach S. Bernstein (Math. Ann. 75 (1914), 449-468; F. d. M. 45, 635 (JFM 45.0635.*)-636) quasianalytischen Funktionen; sie haben mit den nach Denjoy-Carleman quasianalytischen Funktionen gemeinsam, daß sie durch die Werte, die sie in einem beliebig kleinen Teilintervall von \((a, b)\) annehmen, vollständig bestimmt sind.
In Erweiterung eines Satzes von W. Gontcharoff (Ann. sci. Ecole norm. sup. (3) 47 (1930), 1-78; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 260-261) über analytische Funktionen zeigt Verf:
(1) Gehört \(f(x)\) in \((a, b)\) zur Klasse \((R)\) und gilt \[ f^{(n)}(x_n)=0\qquad(n=0, 1, 2,\dots ) \] für eine Punktfolge \((x_n)\) aus \((a, b)\) mit konvergenter \(\sum|\,x_n-x_{n+1}\,|\), so verschwindet \(f(x)\) in \((a, b)\) identisch.
(2) Gehört \(f(x)\) in \((a, b)\) zur Klasse (\(R\)) und gilt \[ f^{(n)}(x_n)\geqq 0\qquad(n=0, 1, 2,\dots ) \] für eine Punktfolge (\(x_n\)) aus \((a, b)\) mit \[ a<\cdots\leqq x_n\leqq \cdots\leqq x_1\leqq x_0<b, \] so ist \(f(x)\) im Punkte \[ X=\lim_{n\to\infty }x_n \] analytisch und läßt sich analytisch fortsetzen in den Kreis um \(X\) mit dem Radius \[ \text{Max}\,\biggl(\frac{1}{\lambda }, b-X\biggr),\;\;\text{wobei}\;\lambda =\varliminf\overset{\;n}{\sqrt{\dfrac{M_n}{n!}}},\;\;M_n=\text{Max}\,|\,f^{(n)}(x)\,|. \]
Die Beweise benutzen die Entwicklung von \(f(x)\) nach den Funktionen \(P_n(x)\) mit \[ P_0(x)=1, P_n(x)=\textstyle \int\limits_{x_0}^{x}dt_1 \int\limits_{x_1}^{t_1}dt_2\cdots\int\limits_{x_{n-1}}^{t_{n-1}}\kern-3pt dt_n\qquad(n=1, 2,\dots ), \] wobei das Restglied in der Lagrangeschen Form genommen wird (vgl. W. Gontcharoff, a. a. O.).

Citations:

JFM 45.0635.*
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI Numdam EuDML