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Über eine Frage aus der Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. (German) JFM 62.0275.02
Die Funktionen \(e_n(x)\) (\(n = 1\), 2, 3,…) sollen den folgenden Bedingungen genügen: a) \(e_n(x)\) (\(n=1\), 2, 3,…) ist periodisch mit der Periode 1. b) Zu jeder stetigen Funktion mit der Periode 1 gibt es eine beschränkte, überall gegen sie konvergente Folge von Linearausdrücken der \(e_n(x)\). c) Die \(e_n(x)\) bilden auf \(0\leqq x<1\) ein vollständiges normiertes Orthogonalsystem in bezug auf die gewöhnliche Lebesguesche Integration. Verf. beweist den Satz: Die Funktionen \(e_n(x)\) bilden in bezug auf eine linksstetige reelle beschränkte nichtabnehmende Funktion \(\sigma (x)\) ein auf \((-\infty ,\infty )\) vollständiges normiertes Orthogonalsystem dann und nur dann, wenn \(\sigma (x)\) die Integralfunktion der charakteristischen Funktion einer meßbaren Punktmenge \(G\) ist, welche die folgende Eigenschaft hat: \(G\) liegt in \((-\infty, \infty )\), und die Punkte von [0, 1), die zu je einem Punkte von \(G\) mod 1 kongruente Lage haben, bedecken das Intervall [0, 1) einfach.
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