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Note on trigonometrical and Rademacher’s series. (English) JFM 62.0281.04

Es sei \[ \begin{gathered} \frac{n_\varkappa }{n_{\varkappa -1}}>q>1, \;\;1\leqq r\leqq 2,\;\textstyle\sum\limits_{\varkappa =1}^{\infty }|\,a_{n_\varkappa }\,|^r+|\,b_{n_\varkappa }\,|^r<\infty,\\ f=\textstyle\sum\limits_{\varkappa }(a_{n_\varkappa }\,\cos\,n_\varkappa x+b_{n_\varkappa }\,\sin\,n_\varkappa x).\end{gathered} \] Verf. beweist, daß der Ausdruck \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill \exp\,\lambda \,|\,f\,|^{r'},\;\;\frac{1}{r}+\frac{1}{r'}=1,\hfill} \] für jedes positive \(\lambda \) integrierbar ist. Durch Anwendung dieses Ergebnisses erhält man den folgenden Satz: Wenn \[ g=\textstyle\sum\limits_{\varkappa }(a_\varkappa \,\cos\,\varkappa x+b_\varkappa \,\sin\,\varkappa x),\;\;g\{\log^+\,|\,g\,|\}^{\tfrac{1}{r}}\in L,\;\;r\geqq 2, \] so gilt mit \(n_\varkappa /n_{\varkappa -1}>q>1\): \[ \textstyle\sum\limits_{\varkappa }|\,a_{n_\varkappa }\,|^r+|\,b_{n_\varkappa }\,|^r<\infty . \] Analoge Sätze gelten auch für die Rademacherschen Funktionen. Schließlich wird der Satz (1) auf Probleme über Reihen der Form \[ \textstyle\sum\pm f_\nu (x)\;\;\text{oder auch}\;\;\sum f_\nu e^{2\pi i\vartheta _\nu }\qquad(0\leqq \vartheta _\nu \leqq 1) \] angewendet.

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Full Text: EuDML