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Summation of multiple Fourier series by spherical means. (English) JFM 62.0293.03

Es sei \(x=(x_1,\dots,x_k)\) ein Punkt des \(k\)-dimensionalen euklidischen Raumes und \(f(x)\) eine Funktion der Lebesgue-Klasse \(L\) mit der Periode \(2\pi \) in jeder der \(k\) Variablen. Weiter sei \[ f(x)\sim\textstyle\sum a_{n_1\cdots n_k}e^{i(n_1x_1+\dots +n_kx_k)} \] ihre Fourier-Reihe. Es werden keine Quaderpartialsummen \[ \textstyle\sum\limits_{-N_1}^{N_1}\cdots\sum\limits_{-N_k}^{N_k} a_{n_1\cdots n_k}e^{i(n_1x_1+\dots +n_kx_k)}, \] sondern Kugelpartialsummen \[ S_R(x)=\textstyle\sum\limits_{\nu \leqq R}a_{n_1\cdots n_k}e^{i(n_1x_1+\dots +n_kx_k)}\qquad(\nu ^2=n_1^2+\dots +n_k^2) \] untersucht. Um die Reihe zu summieren, führt man eine Summierungsfunktion \(\varPhi (t)\). ein, definiert für \(0\leqq t<\infty \) mit \(\varPhi (0)=1\) und bildet allgemeiner statt der \(S_{R}\) folgende “Partialsummen”: \[ S_R^\varPhi (x)=\textstyle\sum\varPhi \,\biggl(\displaystyle\frac{\nu }{R}\biggr)a_{n_1\cdots n_k}e^{i(n_1x_1+\dots +n_kx_k)}. \] Diese \(S_R^\varPhi \) haben vor den Quaderpartialsummen den Vorteil, daß man für sie meist eine Integraldarstellung folgender Art finden kann: \[ S_R^\varPhi (x)=R\textstyle\int\limits_{0}^{\infty }f_x(t)\,H_\varPhi (tR)\,dt\,. \] Darin hängt \(H\) nur von \(\varPhi \) ab und kann als Integral angegeben werden. Das \(f(x)\) geht nur ein in \[ f_x(t)=\biggl(\frac{1}{2\pi }\biggr)^{\tfrac{k}{2}}\int\limits_{0}f(x_1+t\xi _1,\dots, x_k+t\xi _k)\,d\sigma _\xi . \] Dabei sind die (\(\xi _1\),…, \(\xi_k\)) die Punkte der Oberfläche der Einheitskugel mit dem Mittelpunkt \(x\) und \(d\sigma _\xi \) ihr Oberflächenelement. Für \(k=1\) sei \(f_x(t) = f(x+t)+f(x-t)\). Wenn die Formel für \(S_R^\varPhi (x)\) gilt, so hängt die Konvergenz der \(S_R^\varPhi \) an einer Stelle \(x\) offenbar nur von dem Verhalten von \(f_x(t)\) für \(0\leqq t<\infty \) ab. Wenn \(\varPhi (t)\) genügend viele und im Unendlichen genügend kleine Ableitungen hat, dann hängt das Konvergenzverhalten der \(S_R^\varPhi \) nur ab vom Verhalten von \(f_x(t)\) für \(0\leqq t<t_0\) mit beliebig kleinem \(t_{0}\). (Bei “Quadersummation”, d. h. etwa für Partialsummen der folgenden Art: \[ \sigma _R^\varPhi (x)\sim\textstyle\sum \varPhi \biggl(\displaystyle\frac{|\,n_1\,|}{R}\biggr)\cdots\varPhi \biggl(\frac{|\,n_k\,|}{R}\biggr)a_{n_1\cdots n_k}e^{i(n_1x_1+\dots +n_kx_k)} \] kann man zeigen, daß Entsprechendes schon z. B. für \(\varPhi (t)=e^{-t}\) nicht gilt.) Setzt man \(f_x(t)\) in \(t = 0\) als stetig voraus, so kann man zeigen, daß die \(S_R^\varPhi (x)\) im wesentlichen gegen \(f_x(0)\) konvergieren.
Alle Resultate gelten auch, wie gezeigt wird, für Stepanoffsche fastperiodische Funktionen. Daraus kann man entnehmen, weshalb unter den Summabilitätsbedingungen keine vorkommen, die irgendwelche Richtungen im Variablenraum auszeichnen.
Besonders untersucht wird der spezielle Fall \(\varPhi (t)=(1-t^2)^\delta \) für \(0\leqq t<1\) und \(= 0\) sonst (Riesz-Summation der Ordnung \(\delta \)). Für \(\delta >\dfrac{K-1}{2}\) ist das Konvergenzverhalten durch das Lokalverhalten von \(f(x)\) charakterisiert. Das ist sicher falsch für \(\delta <\dfrac{k-1}{2}\) und auch für \(\delta =\dfrac{k-1}{2}\), wenn \(k\geqq 2\). Für \(k=1\) und \(\delta =\dfrac{k-1}{2}=0\) hat schon Riemann die betreffende “Lokalisationseigenschaft” bewiesen. Ersetzt man die Fourierreihen durch Fourierintegrale, so bleibt diese Eigenschaft auch noch für alle \(\delta =\dfrac{k-1}{2}\) richtig.
Zunächst werden in der Arbeit Fourierintegrale behandelt; denn ihre Eigenschaften sind einfacher als die der Fourierreihen, die anschließend besprochen werden. Die hergeleiteten Summationssätze werden dann im letzten Teil der Arbeit zu Konvergenzuntersuchungen verwandt. (IV 3 E.)

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