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Über die monotone Konvergenz von Potenzreihen mit mehrfach monotoner Koeffizientenfolge. (German) JFM 62.0325.02
Unter einsinniger Konvergenz einer Folge \(\{\zeta_n\}\) komplexer Zahlen \(\zeta_n\) \((n = 0, 1, \dots)\) gegen eine Komplexe \(\zeta\) verstehe man, daß die Folge \(\{|\zeta - \zeta_n|\}\) einsinnig abnehmend gegen 0 strebt. Auf diesen Befund untersuchen die Verf. hier Potenzreihen \(\sum\limits_{n=0}^\infty \alpha_n z^n\), deren Vorzahlen \(\alpha_n\) gewisse Einsinnigkeits-Eigenschaften besitzen. (Ihre Erklärung: \(\{\alpha_n\}\) heißt \(k\)-fach einsinnig, wenn die Differenzenfolgen \[ \varDelta^\nu \alpha_n = \sum_{\mu = 0}^\nu (-1)^\mu \binom \nu \mu \alpha_{n+\mu} \qquad (n=0,1, \dots ) \] aus lauter nichtnegativen Zahlen bestehen für alle \(\nu = 0,1, \dots, k\); sie heißt volleinsinnig, wenn dies für sämtliche \(\nu\) gilt.) Ist \(f (z)\) im Konvergenzkreise die Summe der Potenzreihe und sind \(s_n(z), n = 0, 1,\dots \), ihre Teilsummen, so besagt die einsinnige Konvergenz, daß \[ |f(z)| \geqq |f(z) - s_0 (z)| \geqq |f(z) - s_1 (z) | \geqq \cdots \geqq |f(z) - s_n (z)| \geqq \cdots. \] Für einfach einsinnige \(\alpha_n\) treffen diese Ungleichungen im allgemeinen nicht zu, wofür ein Beispiel am Schlüsse der Arbeit gegeben wird. Dagegen zeigen die Verf., daß sie im Einheitskreise \(\mathfrak E\) bestehen, wenn \(\{\alpha_n\}\) zweifach einsinnig ist. In diesem Falle gelten in \(\mathfrak E\) sogar die schärferen Aussagen \[ |f(z)| \geqq \left| \frac {f(z) - s_0 (z)}{z}\right| \geqq \left| \frac {f(z) - s_1 (z)}{z^2}\right| \geqq \cdots \geqq \left| \frac {f(z) - s_n (z)}{z^{n+1}}\right| \geqq \cdots \] (daß diese bei dreifach einsinniger \(\{\alpha_n\}\) richtig sind, ist der Inhalt eines ersten Abschnittes der Arbeit). – Die Verf. beweisen weiter, daß in \(\mathfrak E\) die Folge der \(| (f(z) - s_{n-1} (z)) z^{-n}| ^2\) \(k\)-fach einsinnig ist, wenn \(\{\alpha_n\}\) \((k+1)\)-fach einsinnig ist.
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Full Text: EuDML