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The divergence of sequences of polynomials interpolating in roots of unity. (English) JFM 62.0332.01

Ist \(\varrho > 1\) die größte Zahl derart, daß \(f(z)\) regulär in \(|z| < \varrho\) ist, so konvergiert bekanntlich die Folge der \(f(z)\) in den \((n -1)\)-ten Einheitswurzeln interpolierenden Polynome \(n\)-ten Grades gegen \(f(z)\), und zwar gleichmäßig für \(| z | \leqq R < \varrho\); Verf. zeigt hier, daß sie für \(|z| > \varrho\) divergiert (dies war seither nur für \(\varrho < |z| < \varrho^2\) bekannt; vgl. Verf., Interpolation and approximation by rational functions in the complex domain (1935; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 315-319), p. 153-154). Der Beweis beruht, wie der des früher Bekannten, auf einem Vergleich der \(p_n(z)\) mit den \(P_n(z)\), den Abschnitten der Taylorentwicklung von \(f(z)\) um \(z=0\), sowie auf einem einfachen Lemma über das Verhalten der \(P_n(z)\) außerhalb des Konvergenzkreises. Zum Schluß werden Tragweite und Grenzen der Methode diskutiert.
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