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Sur les angles de divergence des fonctions entières. (French) JFM 62.0358.04
Verf. untersucht ganze Funktionen \(f(z)\) der Ordnung \(\varrho > \frac 12\), welche bezüglich des Integrals \[ I(\varphi, k)= \int\limits_1^\infty \log^+ \, |f(re^{i \varphi})|\, \frac {dr}{r^{k+1}} \] für \(k = \varrho\) im Winkelraum \(|\)arg \(z| < \dfrac \pi{2\varrho}\) zur Divergenzklasse, in kleinen angrenzenden Winkelräumen aber zur Konvergenzklasse gehören. Er gelangt zu folgenden Ergebnissen über Wachstum und Wertverteilung solcher Funktionen: \[ \begin{aligned} & \lim_{k \to \varrho} \dfrac {I(\varphi, k)}{I(0,k)} = \cos \varrho\varphi, \quad -\dfrac \pi{2 \varrho} \leqq \varphi \leqq \dfrac \pi{2 \varrho}, \tag{A} \\ \dfrac { \varrho}{2\pi} \leqq & \lim_{k \to \varrho} \dfrac {\sum^\prime \dfrac 1{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} r_n^{-k} (e^{i \theta}) \, d \theta }{I(0,k)} \leqq \dfrac { \varrho}{2\pi \cos \varrho \varepsilon} \qquad (0 < \varepsilon < \varepsilon_0), \tag{B} \\ \dfrac { \varrho}{2\pi} \leqq & \lim_{k \to \varrho} \dfrac{\sum^\prime r_n^{-k}(x)}{I(0,k)} \leqq \frac{\varrho}{2\pi \cos\, \varrho \varepsilon} \qquad (0 < \varepsilon < \varepsilon_0), \tag{C} \\ & \lim_{k \to \varrho} \dfrac {\sum^{\prime\prime} r_n^{-k} (x)}{I(0,k)}=0. \tag{D} \end{aligned} \] \(\sum^\prime\) ist erstreckt über die Beträge \(r_n(x)\) der Wurzeln von \(f (z) = x\) in den Winkelräumen der Öffnung \(2\varepsilon\) und den Winkelhalbierenden \(\pm \dfrac \pi{2\varrho}\), \(\sum^{\prime\prime}\) über jene im Winkelraum \(|\)arg \(z| < \dfrac \pi{2\varrho}\), (C) und (D) gelten für alle \(x\) ausgenommen höchstens eine Menge vom linearen Maß null. Die Ungleichungen (B) und (C) bedürfen jedoch einer Korrektur. Bei beiden ist das mittlere Glied \(\lim (\quad )\) zu ersetzen durch \(\liminf (\quad ) \leqq \limsup (\quad )\); denn es geht aus dem Beweise nicht hervor, daß der Limes existiert.
Der Beweis stützt sich auf zwei Gleichungen von G. Valiron (J. Math. pur. appl. (9) 10 (1931), 457-480; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 365-366), welche die Größen \[ I (\varphi^0, k), \quad I (\varphi_1, k), \quad I (\varphi_2, k), \quad \sum \int\limits_0^{2\pi} \frac{\delta_n (e^{i \theta})}{r_n^k (e^{i \theta})} \, d\theta, \quad \sum \frac{\delta_n (x)}{r_n^k (x)}, \]
\[ \varphi_2 < \varphi_0 < \varphi_1, \quad \omega_n = \text{ arg } r_n (x), \]
\[ \delta_n (x) = \sin \, k ( \varphi_1 - \omega_n ) \sin \, k ( \varphi_0 - \varphi_2 ), \qquad \varphi_0 \leqq \omega_n \leqq \varphi_1, \]
\[ \delta_n (x) = \sin \, k ( \omega_n - \varphi_2) \sin \, k ( \varphi_1 - \varphi_0 ), \qquad \varphi_2 \leqq \omega_n \leqq \varphi_0, \] miteinander verknüpfen, und auf einen Satz von Valiron-Nevanlinna, wonach \[ \frac 1{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} \log^+ \frac 1{|f(re^{i \varphi}) - x |} \, d \varphi = O [\log T(r)] \qquad (r>r(x)) \] für alle \(x\) höchstens mit Ausnahme einer Menge vom linearen Maß null.
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