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Bloch functions. (English) JFM 62.0385.03
Unter einer “Blochschen Funktion” versteht Verf. eine in \(|z|<1\) reguläre Funktion \(f(z)\) mit \(|f'(0)|= 1\), die diesen Kreis abbildet auf eine Riemannsche Fläche, in der kein Kreis mit Radius \(>\mathfrak B\) schlicht Platz hat, wo \(\mathfrak B\) die Blochsche Konstante ist. Nach Definition derselben gibt es zu jedem \(\varepsilon>0\) eine Funktion, für die vorstehende Aussage mit \(\mathfrak B+\varepsilon\) anstatt \(\mathfrak B\) zutrifft. Verf. zeigt nun zunächst: Es gibt Blochsche Funktionen. Dann beweist er: Eine solche Funktion hat den Einheitskreis zur natürlichen Grenze. Er zeigt nämlich: Ist \(f(z)\) eine über \(|z|=1\) hinaus fortsetzbare Funktion, so kann man ihre Bildfläche so abändern, daß sie zu einem \(f^*(z)\) in \(|z|<1\) mit \(|f^{*\prime}(0)|>1\) gehört, ohne daß in ihr größere Kreisscheiben schlicht Platz haben als in der ursprünglichen Fläche. Ist \(f(z)\) eine Blochsche Funktion, so widerspricht das dem Blochschen Satze.
Die Betrachtungen (insbesondere der Existenzbeweis) werden z. T. ausgedehnt auf “Blochsche Funktionen zweiter und dritter Art”. Das sind solche, deren Wertevorrat keinen größeren als den überhaupt (nicht notwendig schlicht) bedeckten Kreis bedeckt, bzw. die entsprechenden Extremalfunktionen in der Klasse der schlichten Funktionen.

Subjects:
Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis, Kapitel 4. Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen. H. Konforme Abbildung und Uniformisierung. Automorphe Funktionen.
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