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Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. I: Domaines convexes par rapport aux fonctions rationnelles. (French) JFM 62.0399.01
Ein noch ungelöstes Problem ist die Frage, für welche Bereiche die Cousinsche Übertragung des Mittag-Lefflerschen Satzes gültig bleibt (vgl. Acta math., Uppsala, 19 (1895), 1-62; F. d. M. 26, 456 (JFM 26.0456.*)-461). Nach einem von H. Cartan angekündigten Satz (C. R. Acad. Sci., Paris, 199 (1934), 1284-1287; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 1023) trifft dies sicher zu für Bereiche, die in bezug auf rationale Funktionen konvex sind. Verf. gibt für diese Aussage einen Beweis und bedient sich dabei eines neuen Prinzips. Er betrachtet zunächst im Raum der komplexen Veränderlichen \(x_1,x_2,\ldots, x_n\) Bereiche \[ \varDelta: x_i\in X_i, \;R_j((x))\in Y_j\qquad (i=1,2,\ldots, n; \;j=1,2,\ldots,\nu); \] dabei seien \(X_i\), \(Y_j\), beschränkte, schlichte Gebiete in den Ebenen der Veränderlichen \(x_i\), \(y_j\) und \(R_j((x))\) rationale Funktionen. Verf. zeigt nun, daß für Bereiche dieser Art die Gültigkeit des Cousinschen Satzes aus seiner von Cousin selbst nachgewiesenen Gültigkeit für den \(2(n+\nu)\)-dimensionalen Zylinderbereich \(C: x_i\in X_i\), \(y_j\in Y_j\) folgt. Die Durchführbarkeit des hier befolgten Prinzips hängt im vorliegenden Falle von dem folgenden, vom Verf. bewiesenen Satz ab: Es sei \(f((x))\) eine in \(\varDelta\) reguläre Funktion. Dann gibt es eine in \(C\) reguläre Funktion \(F ((x), (y))\) der Veränderlichen \(x_i\), \(y_j\), die auf der Mannigfaltigkeit \(\varSigma: y_j = R_j((x))\), \((x)\in\varDelta\), mit \(f((x))\) übereinstimmt. Aus diesem Satz folgt auch die Aussage von A. Weil, daß für alle Bereiche \(\varDelta': x_i\in X_i\), \(|R_j ((x)) |< 1\) die Aussage des Rungeschen Satzes gilt (Sur les séries de polynomes de deux variables complexes, C. R. Acad. Sci., Paris, 194 (1932), 1304-1305; F. d. M. 58). Da nun jeder in bezug auf rationale Funktionen konvexe Bereich durch solche Bereiche \(\varDelta'\) approximierbar ist, ergibt sich in einfacher Weise der oben angegebene Satz von H. Cartan.

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