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Sur les fonctions entières et méromorphes de deux variables complexes. I. (French) JFM 62.0401.03
Das Ziel der Arbeit ist die Übertragung der bekannten Resultate von Hadamard, Picard-Borel, Valiron und Nevanlinna aus der Theorie der ganzen und meromorphen Funktionen einer Veränderlichen auf Funktionen mehrerer komplexer Variablen. -Ist zunächst in einem schlichten, beschränkten und einfach zusammenhängenden Bereich \(\mathfrak B\) eine unendliche Folge von Funktionen \(n_s (w, z)\) vorgegeben, die dort regulär sind und alle irgendwo verschwinden, so werden aus der Wachstumsordnung der \(n_s\) bei gewissen Annäherungen an den Rand von \(\mathfrak B\) notwendige und andere hinreichende Bedingungen dafür abgeleitet, daß eine in \(\mathfrak B\) reguläre Funktion \(f(w,z)\) existiert, die dort die \(n_s\) und nur diese zu “Nullstellenfunktionen” hat und für die \(\int\limits_{\mathfrak B}\log |f|^2\dfrac{d\omega}{F^k}\) existiert, wo \(F\) eine positive Funktion bedeutet, die bei Annäherung an den Rand von \(\mathfrak B\) gegen \(\infty\) geht. – Sind die \(n_s\) speziell im ganzen Raum regulär, so wird eine hinreichende Bedingung dafür angegeben, daß man bei den konvergenzerzeugenden Faktoren des zugehörigen Weierstraßschen Produktes alle Polynome vom gleichen Grad wählen darf.
Im zweiten Teil werden die im ganzen Raum meromorphen Funktionen untersucht. Sei \(f=\dfrac np\) die teilerfremde Quotientendarstellung einer solchen Funktion, für die außerdem \(f(0, 0) \neq 0\), \(\neq a\) sein soll, und \(f(w, z)\) regulär in \((0, 0)\). Wird dann gesetzt: \[ m(r,f) = \frac1{4\pi^2}\int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{2\pi}\log^+ |f(re^{i\varphi_1},Ar^\alpha e^{i\varphi_2})| d\varphi_1 d\varphi_2, \] \[ N(r,f^{-1})=\frac1{4\pi^2}\int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{2\pi}\log |n(re^{i\varphi_1},Ar^\alpha e^{i\varphi_2})| d\varphi_1 d\varphi_2-\log|n(0,0)| \] (\(A\), \(\alpha\) Konstanten), so gilt u. a. der Satz: \[ \begin{gathered} m (r, (f - a)^{-1}) + N (r, (f - a)^{-1}) = m (r, f) + N (r, f) + h (r) \\ \text{mit} \;|h(r)|\leqq log^+|f(0, 0) - a| + \log^+|a| +\log2, \end{gathered} \] als Analogon zu dem entsprechenden Fundamentalsatz aus der Nevanlinnaschen Theorie.
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Full Text: EuDML