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Über eine Methode zur Gewinnung von Funktionalbeziehungen zwischen konfluenten hypergeometrischen Funktionen. (German) JFM 62.0415.03
Setzt man \[ \mathfrak M_{k,m}(z)= \frac{z^{m-\frac12}e^{-\frac z2}}{\varGamma(2m+1)\varGamma(\frac12-m-k)} M_{k,m}(z) \] (\(M_{k,m} (z)\) Whittakersche konfluente hypergeometrische Funktion), so gilt die Integraldarstellung: \[ \mathfrak M_{k,m}(z)=-\frac1{2\pi}z^me^{-(m+k)\pi i}\int\limits_{\infty}^{(0+)} e^{-u}J_{2m}(2\sqrt{uz})u^{k-\frac12}du; \] dabei kommt der Integrationsweg vom Unendlichen, umkreist den Nullpunkt im positiven Sinne und kehrt dann ins Unendliche zurück, wobei am Anfang arg \(u=0\) und am Ende arg \(u=2\pi\) ist. Diese vom Verf. in einer früheren Arbeit (Math. Ann. 113 (1936), 357-362; F. d. M. \(62_{\text I}\), 418-419) abgeleitete Darstellung benutzt er, um aus Beziehungen zwischen den Besselschen Funktionen solche für die \(\mathfrak M_{k,m}(z)\) abzuleiten.
Die Rekursionsformel für die Besselschen Funktionen liefert eine solche für die \(\mathfrak M_{k,m}(z)\): \[ \begin{aligned} &\mathfrak M_{k,m}(z)=\frac z{2m}\mathfrak M_{k+\frac12,m-\frac12}(z)-\frac1{2m} \mathfrak M_{k+\frac12,m+\frac12}(z),\\ &\frac{d^n}{dz^n}\mathfrak M_{k,m}(z)=\mathfrak M_{k+\frac n2,m-\frac n2}(z)\qquad (n=1,2,3,\ldots). \end{aligned} \]
Aus der Neumannschen Entwicklung \[ \begin{gathered} f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nJ_n(z),\\ a_0=\frac1{2\pi i}\int\limits_{\mathfrak K}f(t)O_0(t)dt,\quad a_k=\frac1{\pi i}\int\limits_{\mathfrak K}f(t)O_n(t)dt\qquad (n=1,2,3,\ldots), \end{gathered} \] wird die Entwicklung \[ \sum_{n=0}^\infty\frac{a_n\cdot i^n M_{k,\tfrac n2}(z)} {n!\varGamma\left(\dfrac12-\dfrac n2-k\right)}= -\frac 1{2\pi}z^{\frac12}e^{\frac12z-k\pi i}\int\limits_\infty^{(0+)} e^{-u}f(2\sqrt{uz})u^{k-\frac12}du \] gewonnen, die für \(f(z) = e^{iz\cos\varphi}\) (\(a_0 = 1\), \(a_n = 2i^n \cos n\varphi\); \(n = 1, 2, 3,\ldots\)) auf die Entwicklung von \(z^{\frac12}e^{\frac12z\sin^2\varphi}D_{2k}(\sqrt{2z}\cos\varphi)\) (\(D_{2k}\) die Weberschen Funktionen des parabolischen Zylinders) nach den \(M_{k,\tfrac n2}(z)\) führt. \[ a_{2n}=0, \quad a_{2n+1}=P_n(\cos 2\vartheta) \qquad(n=0,1,2,\ldots) \] überträgt die Reihe von Pincherle \[ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} J_{2n+1}(z)P_n(\cos 2\vartheta). \] Die allgemeine Entwicklung \[ \begin{gathered} f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n J_{\nu+n}(z)\qquad (\nu\neq 0,-1,-2,\ldots) \\ \left(a_n=\frac1{2\pi i}\int\limits_{\mathfrak K} f(t)A_{n,\nu}(t)z^{-\nu}dt, \;A_{n,\nu}(t) \;\text{die \textit{Gegenbauer}schen Polynome}\right) \end{gathered} \] führt auf \[ \sum_{n=0}^\infty\frac{a_n i^n M_{k,\tfrac{n+\nu}2}(z)} {\varGamma(\nu+n+1)\varGamma\left(\dfrac12-\dfrac{\nu+n}2-k\right)}= -\frac1{2\pi}e^{\tfrac12z-\left(\tfrac\nu2+k\right)\pi i} z^{\tfrac12}\int\limits_\infty^{(0+)} e^{-u}f(2\sqrt{uz})u^{k-\tfrac12}du, \] die ebenfalls durch interessante Beispiele erläutert wird.
Weiter werden mittels der obigen Integraldarstellung Multiplikationstheoreme, neue Integralformeln und Integraldarstellungen für die Whittakerschen Funktionen abgeleitet, wie z. B. \[ M_{k,m}(z)=\frac1{2\pi i}\varGamma(2m+1)z^{m+\frac12}e^{\frac12z+2m\pi i} \int\limits_\infty^{(0+)} e^{-t}t^{-2m-1}\left(1-\frac zt\right)^{-\frac12-k-m}dt, \] wo \(2m\neq - 2, - 3,\ldots\), der Integrationsweg ganz außerhalb der Kreises \(|t|=|z|\) verläuft und an seinem Anfang \(\arg t = \arg\left(1-\dfrac zt\right)=0\) ist.
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References:
[1] Vgl. E. T. Whittaker und G. N. Watson, A course of modern Analysis 4th Ed. Cambridge 1927, Kap. XVI. Dieses Werk wird im folgenden mit M. A. zitiert.
[2] Vgl. zwei demnächst in den Math. Ann. erscheinende Noten des Verf.
[3] Eine entsprechend gebaute Integraldarstellung derW-Funktionen, welche im wesentlichen von Meijer herrührt und ebenfalls in einem der in Anm. 2) zitierten Noten angegeben ist, ermöglicht in gleicher Weise die Übertragung von Funktionalbeziehungen mit Hankelschen Funktionen auf solche mitW-Funktionen.
[4] M. A. § 17, 212.
[5] M. A. § 12,15 und 12,14.
[6] M. A. § 16,11. Vgl. auch A. Erdélyi, Funktionalrelationen mit konfluenten hypergeometrischen Funktionen. Erste Mitteilung: Additions- und Multiplikationstheoreme. Erscheint demnächst in der Math. Zschr. Gleichung (1, 7). Diese Arbeit wird mit I zitiert.
[7] G. N. Watson, A. Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge 1922, insbesondere § 16,11. Dieses Werk wird im folgenden B. F. zitiert. · JFM 48.0412.02
[8] Vgl. Bromwich, An introduction to the Theorie of infinite Series 2d Ed. London 1926, § 176 B.
[9] B. F. § 2,1 Gleichung (3), wot durchie i zu ersetzen ist.
[10] Wegen ihrer Definition vgl. M. A. § 16, 5 ff.
[11] G. N. Watson, The harmonic functions associated with the parabolic cylinder. II. Proc. London Math. Soc. (2)17 (1918) 116. Vgl. auch die erste der beiden in Anm. 2) genannten Noten. · JFM 46.0576.04
[12] M. A. § 16,1.
[13] B. F. § 16,3.
[14] M. A. § 12,14.
[15] M. A. § 16,511.
[16] M. A. § 12,5.
[17] B. F. § 16,13.
[18] B. F. § 5,2.
[19] Vgl. M. A. § 12,22.
[20] B. F. § 5,21.
[21] B. F. § 5,22. Gleichung (5).
[22] Diese Beziehung folgt unmittelbar aus der M. A. § 16,1 gegebenen Erklärung der FunktionM k, m (z).
[23] B. F. § 5,22. Gleichung (7).
[24] B. F. § 12,11.
[25] I, Gleichung (3, 1).
[26] I, Gleichung (3, 7).
[27] B. F. § 13,24.
[28] M. A. § 12,2.
[29] A. Erdélyi, Über einige bestimmte Integrale, in denen die WhittakerschenM k, m -Funktionen auftreten. Math. Zschr.40, (1936) 693. Gleichung (1). · JFM 62.0418.01
[30] B. F. § 3,3.
[31] M. A. § 16,7.
[32] M. A. § 16,7.
[33] B. F. § 6,2. Gleichung (1).
[34] M. A. § 16,12.
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