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Funktionalrelationen mit konfluenten hypergeometrischen Funktionen. I: Additions- und Multiplikationstheoreme. (German) JFM 62.0417.01
Verf. eröffnet hier eine Reihe von Arbeiten, in denen er funktionale Beziehungen in Whittakerschen Funktionen \(M_{k,m}(t)\), \(W_{k,m}(t)\) mit Hilfe der Laplaceschen Verwandlung herleiten wird. Bei besonderer Wahl von \(k\), \(m\) liefern sie teils bekannte, teils neue Eigenschaften der Besselschen Funktionen, der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome.
§ 1 greift auf die Erklärung der \(M_{k,m}(t)\) zurück und erläutert, wie die erwähnten Sonderfälle zustande kommen. Was die Laguerreschen Polynome \(L_n^\beta \) betrifft, so bemerkt Ref. zu der Fußnote 13) auf S. 699 der Arbeit des Verf. in Math. Z. 40 (1936; zweitfolgendes Referat), daß sie als Sonderfälle der Kummerschen Reihe schon bei P. Appell, J. Kampé de Fériet in: Fonctions hypergéométriques et hypersphériques, polynomes d’Hermite (1926; F. d. M. 52, 361 (JFM 52.0361.*)-364), S. 131, (27) auftreten. Ein auf die \(L_n^\beta \) bezüglicher neuer Fund des Verf. ist, daß die Gebilde, die, mit geeigneten trigonometrischen Ausdrücken zusammengesetzt, zu den Zylinderfunktionen \(J_{\pm (n+\frac {1}{2})}\) (\(n >0\) ganz) führen, im wesentlichen Laguerresche Polynome sind.
In § 2 bestimmt Verf. die Laplaceschen Bilder der genannten Funktionen, z. B.
\(\mathfrak L\,[\,t^q\,e^{\lambda t}\,M_{k,m}\,(\alpha t)] =\alpha ^{m+\frac {1}{2}} \varGamma \Bigl(q+m+\dfrac {3}{2}\Bigr)\, \Bigl(s-\lambda +\dfrac {\alpha }{2}\Bigr)^{-q-m-\frac {3}{2}}\)
\                 \(\cdot \;F\Biggl(q+m+\dfrac {3}{2},\;\dfrac {1}{2}+m-k,\;2m+1,\;\dfrac {\alpha }{s-\lambda +\dfrac {\alpha }{2}}\Biggr)\),
\                        \(q+m+\dfrac {3}{2}>0,\;\;s>\lambda \pm\dfrac {\alpha }{2}\).
Die besondere Annahme \(q = m- \dfrac {1}{2}\), \(\alpha =1\), \(\lambda =0\) lehrt, daß die Funktionen \[ N_{k,m}(t)=\frac {1}{\varGamma (2m+1)}\,t^{m-\frac {1}{2}}\, M_{k,m}(t) \] eine Gruppe gegenüber der Faltung bilden (§ 3). Ihr Additionssatz von Faltform lautet in der üblichen Schreibweise \[ N_{k,m}(t) * N_{k',m'}(t) = N_{k+k',m+m'+\frac {1}{2}}(t). \] Einen auf die unabhängige Veränderliche bezüglichen Additionssatz, gleichfalls von Faltform, gewinnt Verf. in § 4.
Von den Multiplikationssätzen, die Verf. in §§ 5, 6 herleitet, sei der für alle \(\alpha \) gültige zweite (§ 6) angeführt, \[ e^{-\frac {1}{2}\alpha t}\,N_{k,m}(\alpha t)=\alpha ^{2m}\,\sum _{r=0}^\infty \frac {(k+m+\frac {1}{2})_r}{r!}\,(1-\alpha )^r\,e^{-\frac {1}{2}t}\, N_{k+\frac {r}{2},m+\frac {r}{2}}(t); \] er ist Dingformel einer binomischen Reihe.
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