On rings of operators. (English) JFM 62.0449.03

Murray, F. J.; von Neumann, J.

Ann. Math., Princeton, (2) 37, 116-229 (1936).

B sei der Ring der beschränkten Operatoren im Hilbertschen Raum \(\mathfrak H\). Es werden Unterringe \(M\) betrachtet, die mit \(A\) auch \(A^*\) enthalten und die abgeschlossen sind. Solch ein \(M\) heißt Faktor, wenn sein Zentrum nur aus den komplexen Vielfachen der 1 besteht. Die Arbeiten beantworten durch lange interessante Untersuchungen weitgehend die Frage nach der Struktur der verschiedenen Faktorentypen.
\(M'\) sei der Ring der mit dem Faktor \(M\) vertauschbaren Operatoren aus B, also auch ein Faktor. Linearmannigfaltigkeiten \(\mathfrak M\) gehören zu \(M\), wenn sie bei \(M'\) invariant sind. Jedem solchen \(\mathfrak M\) wird – bis auf einen reellen Faktor eindeutig -eine “Dimension” \(D(\mathfrak M)\) mit folgenden Eigenschaften zugeordnet: \(D(0) = 0\); \(D(\mathfrak M)>0\) (auch \(\infty \)), wenn \(\mathfrak M\neq 0\); \(D(\mathfrak M+\mathfrak N) = D(\mathfrak M) +D(\mathfrak N)\) für \(\mathfrak M\perp \mathfrak N\); \(D(\mathfrak N)=\infty \) dann und nur dann, wenn es einen Operator in \(M\) gibt, der \(\mathfrak M\) isometrisch in eine echte Teilmannigfaltigkeit und das orthogonale Komplement von \(\mathfrak M\) in 0 überführt. Nach Normierung kann der Wertbereich von \(D\) nur so aussehen: \(I_n\): die Zahlen \(0,\ldots, n\); \(I_\infty \): die Zahlen \(0,1,\ldots,\infty \); \(II_1\) die reellen Zahlen von 0 bis 1; \(II_\infty \): die reellen Zahlen von 0 bis \(\infty \); \(III\): nur 0 und \(\infty \). Im Fall \(I_n\) (\(n\) auch \(= \infty \)) ist \(M\) isomorph zum Ring der beschränkten Operatoren eines \(n\)-dimensionalen Raums; in genau diesen Fällen ist \(B=M\times M'\). Beispiele für \(II_1\) und \(II_\infty \) werden im Funktionenraum über Mengen, die Transformationsgruppen zulassen, konstruiert. Schließlich wird eine “Spur” Hermiteseher Operatoren im Falle \(II_1\) eingeführt. Im Fall \(II_1\) läßt sich \(M\) auch zu einem Ring unbeschränkter Operatoren erweitern. Die Verf. ziehen den Schluß, daß \(II_1\) eher als \(II_\infty \) die richtige Verallgemeinerung von \(I_n\) sei.

Reviewer: Teichmüller, O., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 8. Funktionalanalysis. A. Räume von unendlich vielen Dimensionen. Allgemeine Funktionale.