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Elementary proof of the spectral theorem. (English) JFM 62.0450.02
Beweise der Existenz einer Spektralzerlegung einer selbstadjungierten (hypermaximalen) Transformation im Hilbertschen Raume findet man schon viel in der Literatur. Einige sind nur dann gültig, wenn die Transformation beschränkt ist; andere dagegen behandeln den allgemeinen Fall. Aber diese Beweise gründen sich alle auf verschiedene Resultate der Funktionentheorie: wir erwähnen, als ein Beispiel, den Weierstraßschen Approximationssatz.
Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist, diesen Satz im beschränkten Fall durch elementare Methoden zu beweisen, d. h. durch Methoden, die sich nur auf die Eigenschaften des Hilbertschen Raumes stützen. Der Beweis wird für den allgemeineren Fall eines komplexen euklidischen Raumes \(\mathfrak L\) gegeben (vgl. Löwig, Acta Litt. Sci. Univ., Szeged, Sect. Sci. math. 7 (1934), 1-33; JFM 60.0324.*), was bekanntlich keine wesentlichen neuen Schwierigkeiten macht.
Die Spektralzerlegung ist leicht zu folgern, wenn die zwei folgenden Sätze für positiv definites H bewiesen werden: (1) Sei \(\mathfrak M\) die Menge der \(f\in\mathfrak L\), für welche \(|H^kf|\leqq |f|\), \(k\geqq 1\); dann ist \(\mathfrak M\) linear und abgeschlossen. Ihr Projektionsoperator sei \(F\). Ist \(A\) mit \(H\) vertauschbar, dann ist \(A\) mit \(F\) vertauschbar. (2) Sei \(\mathfrak M\) das Orthogonalkomplement von \(\mathfrak M\), \(\mathfrak N=\mathfrak L-\mathfrak M\); dann ist \((Hf,f)>(f,f)\) für jedes \(f\,(\neq 0)\in\mathfrak N\). Der Beweis des zweiten Teils stützt sich auf einige interessante Betrachtungen, in welchen die schwache Konvergenz eine ausschlaggebende Rolle spielt.
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