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A remark on Fourier transforms. (English) JFM 62.0468.02

Wenn \(f(x)\) zu \(L^p(-\infty,\infty)\) gehört (d. h. \(f(x)\) ist meßbar und \(|f(x)|^p\) ist integrabel in \((-\infty,\infty)\), so konvergiert nach Plancherel und Titchmarsh \[ F_a(y)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-a}^a f(x)e^{-iyx}\,dx \] für \(a\to\infty\) bei \(1\leqq p\leqq 2\) im Mittel der Ordnung \(p'=\dfrac p{p-1}\) gegen eine Funktion \(F(y)\) aus \(L^{p'}(-\infty,\infty)\), die Fourier-Transformierte von \(f(x)\). In Analogie zu dem Satz von Menchoff (Fundam. Math., Warszawa, 10 (1927), 375-420; F. d. M. 53, 267), daß, wenn \(\{\varphi_n(x)\}\) ein normiertes Orthogonalsystem ist und \(\sum|a_n|^p\) (\(0<p<2\)) konvergiert, \(\sum a_n\varphi_n(x)\) fast überall konvergiert, beweist Verf. den Satz:
Wenn \(f(x)\) zu \(L^p(-\infty,\infty)\) mit \(1\leqq p<2\) gehört, so konvergiert \(F_a(y)\) für \(a\to\infty\) fast überall im gewöhnlichen Sinn.
Dies wird aus einem noch etwas allgemeineren Satz gefolgert.

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