×

zbMATH — the first resource for mathematics

On a class of Fourier transforms. (English) JFM 62.0482.06
Unter einer Verteilungsfunktion wird in üblicher Weise eine monotone, normierte Funktion \(\sigma(x)\) mit \(\sigma(-\infty) = 0\), \(\sigma(+\infty) = 1\) verstanden. Ist \(\sigma(x) + \sigma(-x) = 1\), so heißt \(\sigma\) symmetrisch. Ist \(\sigma\) symmetrisch und in \(0 < x < \infty\) konkav und daher in \(- \infty < x < 0\) konvex, so heißt \(\sigma\) konvex. – Die Fourier-Transformierte einer Verteilungsfunktion ist so definiert: \[ L(t)= L(t,\sigma) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{itx}\,d\sigma(x) \quad (- \infty < t < + \infty). \] Bedeutet \(\sigma_1 \ast \sigma_2\) die Faltung von \(\sigma_1\) und \(\sigma_2: \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \sigma_1(x-y)\,d\sigma_2(y)\), so heißt die Verteilungsfunktion \(\sigma(x)\) stabil, wenn es zu jedem \(a > 0\) und \(b > 0\) ein \(c > 0\) gibt, so daß \(\sigma\left(\dfrac xa\right) \ast \sigma\left(\dfrac xb\right) = \sigma\left(\dfrac xc\right)\) oder, was dasselbe ist, \(L(at;\sigma)\) \(L(bt;\sigma) = L (ct;\sigma)\) ist.
Von den 21 Sätzen der Arbeit seien die folgenden hervorgehoben.
Satz 1. \(f(z)\) mit \(f(0) > 0\) sei eine gerade ganze transzendente Funktion vom Geschlecht 0 in \(z^2\) mit nur reellen Nullstellen. Dann gibt es eine konvexe Verteilungsfunktion \(\sigma(x)\), die in \(- \infty < x < + \infty\) beschränkte Ableitungen beliebiger Ordnung besitzt, vermittels deren die meromorphe Funktion \(\dfrac 1{f(z)}\) sich auf der imaginären Achse so darstellen läßt: \[ \frac{f(0)}{f(it)} = L(t;\sigma) \quad (-\infty < t < +\infty). \] Ist obendrein \[ \operatornamewithlimits{Max}\limits_{|z|\leqq |t|}|f(z)| > Ce^{c|tl}, \] so ist \(\sigma(x)\) regulär und beschränkt in einem Streifen \(-\alpha< y < + \alpha\) der \(z\)-Ebene, \(z = x + iy\).
Satz 3 und 4. Es sei \(\varSigma(z) = \xi(\frac 12+iz)\), wo \(\xi\) die Riemannsche \(\xi\)-Funktion ist. Dann ist \[ \frac{\varXi(t)}{\varXi(it)} = L(t;\sigma_1) \] und bei Gültigkeit der Riemannschen Vermutung \[ \frac{\varXi(t)}{\varXi(it)} = L(t;\sigma_2), \] wo \(\sigma_1\) und \(\sigma_2\) konvexe Verteilungsfunktionen bedeuten, die in einem Streifen \(-\alpha < y < \alpha\) regulär und beschränkt sind.
Satz 6. Wenn die ganze Funktion \(g(z)\) für reelle Werte reell ist, unendlich viele Nullstellen hat, die alle \(\leqq 0\) sind, und vom Geschlecht 0 oder 1 ist, so existiert für jedes \(b > 0\) eine konvexe Verteilungsfunktion \(\sigma=\sigma_b\), so daß \[ |g(b + it)|^2 = |g(b)|^{-2}L(t;\sigma_b). \]
Satz 11. Jede symmetrische, stabile Verteilungsfunktion ist konvex. – Hieraus ergibt sich, daß das dritte Gaußsche Postulat (Konvexität) für Fehlerverteilungen schon aus dem ersten (Stabilität) und zweiten (Symmetrie) folgt.
Eine größere Anzahl von Sätzen behandelt den mehrdimensionalen Fall (§ 4). Von ihnen sei wegen seines physikalischen Interesses besonders der folgende hervorgehoben:
Satz 18. Wenn die Dispersion (standard deviation) einer stabilen Verteilungsfunktion \(\varphi\) weder 0 noch \(\infty\) ist, so muß \(\varphi\) das Gauß-Maxwellsche Gesetz mit radialer Symmetrie \((e^{-r^2})\) sein. (IV 4 D, F; 16.)

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI