Equations à intégrales principales d’ordre quelconque. (French) JFM 62.0496.01

Giraud, G.

Ann. sci. Ecole norm. sup. (3) 53, 1-40 (1936).

Das Problem, die Integralgleichung \[ \varrho(X) - \lambda \int\limits_V^{(m)} G(X,A)\varrho(A)\,dV_A = f(X), \tag{1} \] wo das Integral ein Hauptintegral (in wohldefiniertem Sinne) über die geschlossene \(m\)-dimensionale Mannigfaltigkeit \(V\) ist, zu lösen, reduzierte Verf. in einer früheren Arbeit (Ann. sci. Ecole norm. sup. (3) 51 (1934), 251-292, 293-372; JFM 60.1064.*), deren Fortsetzung die vorliegende Arbeit ist, darauf, einen Hilfskern \(H(X,\Xi;\lambda)\) zu bestimmen, der so beschaffen ist, daß für die Gleichung mit dem Kern \[ H(X, \Xi; \lambda) - G(X, \Xi) - \lambda \int\limits_V^{(m)}H(X,A;\lambda)G(A,\Xi)\,dV_A \] die Fredholmsche Theorie gilt. Dieser Kern entspricht dem iterierten Kern, der bekanntlich bei einfachen Hauptintegralen die vorstehende Forderung erfüllt. In der früheren Arbeit gab Verf. ein Konstruktionsverfahren für den Kern \(H\) für die Fälle \(m = 1\) und \(m = 2\) und zeigte damit, daß in diesen Fällen die drei Fredholmschen Fundamentalsätze für die Gleichung (1) gültig sind, vorausgesetzt, daß \(\lambda\) nicht rein imaginäre Werte annimmt, deren absoluter Betrag größer oder gleich dem Minimum einer gewissen positiven Funktion ist. Daß dies auch für beliebige \(m\) gültig ist, wird in der vorliegenden Arbeit bewiesen. Die dafür benötigte Funktion \(H\) wird im Zusammenhang mit der Lösung eines Problems für Potentialfunktionen von m Variablen gefunden, welches zuerst von Bouligand für \(m = 3\) behandelt wurde (G. Bouligand, G. Giraud, P. Delens, Le problème de la dérivée oblique en théorie du potentiel, Paris 1935; F. d. M. 61\(_{\text{II}}\)). Diese Methode ergibt auch die Darstellung von \(H\) durch elementare Funktionen, während die frühere Methode des Verf. \(H\) im allgemeinen in der Gestalt einer Reihe lieferte.
Ebenso wie in der früheren Arbeit werden die Resultate auf die Lösung von Randwertproblemen partieller Differentialgleichungen von elliptischem Typus angewendet und dabei auch Verallgemeinerungen sowohl im Gleichungstypus wie auch in den Randbedingungen vorgenommen.
Im ersten Kapitel wird der Beweis für einen wichtigen Satz im Aufbau dieser Theorie der Gleichungen mit Hauptintegralen, der in der früheren Arbeit unbewiesen geblieben ist, nachgetragen, für den Satz nämlich, daß der Kern \[ \int\limits_V^{(m)} G(X,A)H(A,\Xi)\,dV_A \] auch ein Kern von Hauptintegralen ist. Verf. bemerkt, daß er die Anregung zu der dabei verwendeten Beweisidee aus einer Arbeit von Tricomi (Math. Z. 27 (1927), 87-133; F. d. M. 53, 359 (JFM 53.0359.*)-360) geschöpft hat, in der ein Lemma enthalten ist, das für den Fall \(m=2\) zu dem gleichen Resultat führt. (IV13.)

Reviewer: Golomb, M., Dr. (Bronx, New York)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 9. Integralgleichungen und Verwandtes.

Citations:

JFM 60.1064.*; JFM 53.0359.*