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Über Differentialoperatoren, Minimaloperatoren, Minimalpolynome und Differentialgleichungen. (German) JFM 62.0542.01
Zu einem linearen Differentialoperator \[ A={\sum\limits_{i=1}^{n}}a_i\dfrac{\partial}{\partial x_i},\quad a_i=a_i(x_1,x_2,\dots,x_n),\;n\geqq1, \] lassen sich Polynome \[ P(A)=(A-\varrho_1)^{\alpha_1}(A-\varrho_2)^{\alpha_2}\cdots (A-\varrho_\lambda)^{\alpha_\lambda}\quad (\varrho_i\neq\varrho_k,\quad{\sum}\alpha_i=m) \] bilden, so daß \(P (A) (y) = 0\) eine lineare homogene Differentialgleichung \(m\)-ter Ordnung darstellt.
Zuerst wird bewiesen, daß sich jede Lösung \(y\) dieser Differentialgleichung als Summe von \(\lambda\) Funktionen \(y^{(i)}\) schreiben läßt: \[ y=y^{(1)}+y^{(2)}+\cdots+y^{(\lambda)}, \] wobei \(y^{(i)}\) der Gleichung \[ (A-\varrho_i)^{\alpha_i}(y^{(i)})=0 \] genügt. Der Beweis ergibt sich analog der Zerlegung einer Matrix mit Hilfe der Kovarianten von Frobenius. Auch der Begriff “Minimalpolynom von \(y\)” existiert hier.
In einem weiteren Satze wird bewiesen, daß das Produkt \(z\) der Funktionen \(y_1\), \(y_2\),…, \(y_\nu\) mit den Minimalpolynomen \[ (A-\varrho_1)^{\alpha_1},\;(A-\varrho_2)^{\alpha_2},\dots,\;(A-\varrho_\nu)^{\alpha_\nu} \] das Minimalpolynom \[ (A-\varrho_1-\varrho_2-\cdots-\varrho_\nu)^{\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_\nu-\nu+1} \] besitzt. Hierzu werden zuerst vier Hilfssätze bewiesen, wovon der erste eine Erweiterung der Formel von Leibniz für die \(n\)-te Ableitung eines Produktes darstellt.
Zum Schlusse wird der besondere Fall \(n=1\) behandelt. Hier ergibt sich eine Antwort auf die Frage: Sind \(y_1\), \(y_2\),…Lösungen von gegebenen, linearen homogenen Differentialgleichungen, wie findet man die Differentialgleichung niedrigster Ordnung, der das Produkt \[ z=y_1y_2\dots \] genügt?
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Full Text: EuDML