×

zbMATH — the first resource for mathematics

Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales. (French) JFM 62.0568.01
Es handelt sich darum, die lineare Differentialgleichung \[ L(u)\equiv \sum_{i,j=1}^{2k+1} A_{ij}u_{x_ix_j}+ \sum_{i=1}^{2k+1}B_iu_{x_i}+Cu-u_{tt}=F \tag{1} \] (\(A_{ij}\), \(B_i\), \(C\), \(F\) genügend oft differenzierbare Funktionen von \(x_1,\ldots,x_{2k+1}, t\), und \(\sum A_{ij} x_ix_j\) positiv definit) für die Anfangsbedingungen \[ u(x_i, 0) = u_0(x_i), \qquad u_t(x_i, 0) = u_1(x_i), \] zu lösen. Bekanntlich ist dieses Problem von Hadamard gelöst worden. Eine andere Lösungsmethode gab Mathisson (vgl. Math. Ann. 107 (1932), 400-419; F. d. M. \(60_{\text I}\), 445-446). Verf. entwickelt eine neue Lösungsmethode, die er bereits auf einige spezielle Fälle (vgl. C. R. Acad. Sci. URSS (2) 1 (1934), 433-438; F. d. M. \(60_{\text I}\), 447) angewendet hat. Es wird zunächst unter Verwendung von adjungierten Differentialausdrücken eine Integralformel abgeleitet, welche eine Funktion \(u\) mit \(u_0\), \(u_1\) und \(\varrho= L(u)\) verknüpft. Im Anschluß daran wird durch sukzessive Approximation die Lösung in Gestalt einer Reihe gewonnen, deren Glieder Integrale über charakteristische Kegel sind. Durch Anwendung der Funktionalanalysis wird die gestellte Frage verallgemeinert und gezeigt, daß sie in dieser Form eine einzige Lösung besitzt, welche mit der Lösung im obigen Sinn zusammenfällt, falls diese existiert. Der Arbeit wäre eine weniger fehlerhafte Drucklegung zu wünschen gewesen.

PDF BibTeX XML Cite