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Ricerche variazionali per gli integrali doppi in forma non parametrica. (Italian) JFM 62.0584.01

Es handelt sich um die Untersuchung des Minimums eines Doppelintegrals der Form: \[ \underset{R\hphantom{R}}{\iint} f(x,y,z,s)\,dx\,dy, \] wo \(R\) ein achsenparalleles Rechteck, \(s=\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\) ist und die Randwerte von \(z\) vorgeschrieben sind. Es zeigt sich eine überraschend weitgehende Analogie mit dem einfachsten Variationsproblem mit einer unabhängigen Veränderlichen \(x\), wobei überall die gemischte Ableitung an Stelle der Ableitung nach \(x\) tritt. Es werden die Analoga der notwendigen Bedingungen von Euler, Legendre, Jacobi und Weierstraß entwickelt und hinreichende Bedingungen für ein “schwaches” Minimum gegeben. Die Jacobische Bedingung wird in der Form einer Aussage über die Eigenwerte einer Randwertaufgabe gegeben; die nötigen Eigenwertsätze werden im ersten Teil der Arbeit abgeleitet.

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Full Text: EuDML