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Recherches sur les chaînes de Markoff. (French) JFM 62.0604.03

Breite, lehrbuchmäßige Darstellung der Theorie von Matrizen mit nichtnegativen Elementen und der Theorie der Markoffschen Ketten. Neue Resultate werden natürlich nicht immer erzielt, jedoch werden viele Beweise in vereinfachter Form erbracht.
Kap. I bringt die notwendigen Sätze über Matrizen mit nichtnegativen Elementen und stochastische Matrizen, für die noch die Zusatzbedingungen gelten, daß die Summe der Elemente in jeder Zeile 1 ist und daß keine Reihe nur aus Nullen besteht.
Kap. II behandelt die Theorie der Markoffschen Ketten, wenn die Matrix der \(n^2\) Übergangswahrscheinlichkeiten im obigen Sinn stochastisch ist. Es wird die Wahrscheinlichkeit \(p_{k|\beta}\) dafür bestimmt, beim \(k\)-ten Versuch das Element \(\beta\) zu erhalten. Diskussion je nach der Zerlegbarkeit der Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten. Zahlreiche numerische Beispiele.
Kap. III beschäftigt sich mit folgendem Momentenproblem: Bedeutet \(u_n\) den Wert der stochastischen Variablen, der beim \(n\)-ten Versuch erscheint, so werden Formeln aufgestellt für die Momente \[ M_{m_1m_2\ldots m_r}^{(k_1k_2\ldots k_r)} = \mathfrak E[(u_{k_1} a)^{m_1}(u_{k_1+k_2} - a)^{m_2}\ldots (u_{k_1+k_2 + \cdots+k_r} - a)^{m_r}] \] mit \[ a = \lim_{k\to \infty} \frac 1k \sum_{\varkappa=0}^{k-1} \mathfrak E(u_\varkappa), \] ebenso bei festem \(s\) für die Momente \[ \begin{gathered} M_{m_1m_2 \ldots m_r} = \sum_{k_1, k_2, \ldots, k_r} M_{m_1m_2 \ldots m_r}^{(k_1 k_2 \ldots k_r)} \\ (k_1 \geqq 0; \;k_2 \geqq 1, \ldots, k_r \geqq 1; \;k_1+k_2 + \cdots + k_r\leqq s-1), \end{gathered} \] ferner für die Momente \[ \mathfrak E\left(\sum_{h=0}^{s-1} (u_h-a)\right)^m. \]
Schließlich wird folgender Grenzwertsatz bewiesen: Ist die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten unzerlegbar und primitiv, so strebt die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung \[ \alpha < \frac{u_0 + u_1 + \cdots + u_{s-1} - sa}{\sqrt {M_2}} < \beta \] mit \(s\to \infty\) gleichmäßig gegen \[ \frac 1{\sqrt {2\pi}} \int\limits_\alpha^\beta e^{-\tfrac {t^2}2}\,dt, \] vorausgesetzt, daß \(M_2 \neq 0\) ist.

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References:

[1] G. Frobenius a publié trois mémoires concernant les matrices non-négatives: I. Ueber Matrizen aus positiven Elementen I. Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1908, 471–476.
[2] Ueber Matrizen aus positiven Elementen II. Ibidem. Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1909, 514–518.
[3] Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen. Ibidem. Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1912, 456–477. Ils sont cités plus loin comme Fr. I, Fr. 2 et Fr. 3.
[4] Par le signe o placé devant le numéro d’un théorème nous indiquons que ce théorème, avec des modifications convenables qui sont toujours évidentes, est appliquable aux matrices stochastiques les plus générales, e’est-à-dire ayant des éléments quelconques.
[5] O. Perron, Mathematische Annalen, 64 (1907), p. 257.
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