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Anfangsgründe der Markoffschen Ketten mit unendlich vielen möglichen Zuständen. (German) JFM 62.0607.01

\(P_{ij}^{(n)}\) sei die Wahrscheinlichkeit für den Übergang aus dem Zustand \(E_i\) in den Zustand \(E_j\) in \(n\) Schritten. Ein Zustand \(E_i\) heißt unwesentlich, wenn solche \(j\) und \(n\) existieren, daß \(P_{ij}^{(n)} > 0\) und für beliebige \(m\) stets \(P_{ji}^{(m)} = 0\) ist; alle übrigen heißen wesentlich. Sind \(E_i\) und \(E_j\) wesentliche Zustände und existiert ein \(n\) mit \(P_{ij}^{(n)} > 0\), so muß auch ein \(m\) mit \(P_{ji}^{(m)} > 0\) existieren, und die Zustände heißen miteinander verkehrend. Alle wesentlichen Zustände zerfallen in Klassen derart, daß die Zustände einer und derselben Klasse miteinander verkehren, während Zustände verschiedener Klassen nicht verkehren. Mit Hilfe dieser Begriffe und einer weiteren Einteilung der Klassen in Unterklassen läßt sich dann das asymptotische Verhalten von \(P_{ij}^{(n)}\) für \(n \to \infty\) beschreiben.

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