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Statistical estimation. (English) JFM 62.0611.01
\(f(x_1,x_2, \ldots, x_r;p)\) sei eine vom Parameter \(p\) abhängende Schar \(r\)-dimensionaler Wahrscheinlichkeitsdichten. R. A. Fisher hatte den durch die “maximum likelihood statistic” nahegelegten Begriff der Informationsgröße (amount of information) eingeführt: \[ I(x_1,\ldots,x_r) = \int \cdots \int \left[\frac{\partial \log f}{\partial p}\right]fdx_1 \ldots dx_r. \] Verf. beweist zunächst folgendes Theorem I: Sei \(f(x_1, \ldots,x_r;p)\) für alle in Frage kommenden Werte von \(p\) im \(r\)-dimensionalen Gebiet \(D\) als von Null verschieden definiert (mit Ausnahme höchstens einer Punktmenge vom Maß 0). \(\alpha_1,\ldots,\alpha_s\) seien meßbare Funktionen von \(x_1, \ldots, x_r\). Unter gewissen Regularitätsvoraussetzungen über \(f\) gilt \[ I(\alpha_1, \ldots, \alpha_s)= \liminf \sum_{j=1}^N \frac {\left[\int\limits_{E_j} \cdots \int f_pdx_1 \ldots dx_r\right]^2}{\int\limits_{E_j} \cdots \int f_pdx_1 \ldots dx_r}, \] wenn \(E_1\), …, \(E_N\) punktfremde, \(D\) erschöpfende meßbare Mengen sind, deren Bildmengen \(E_j'\) im Raum der \(\alpha_1, \ldots, \alpha_s\) Borelmeßbar sind und die die Eigenschaft besitzen, daß alle auftretenden Nenner positiv sind. – Ein Theorem II stellt die Ungleichung \(I(\alpha_1, \ldots, \alpha_s) \leqq I(x_1, \ldots, x_r)\) fest und gibt notwendige und hinreichende Bedingungen für die Gültigkeit des Gleichheitszeichens an. – Theorem III: Ist für beliebiges ganzzahliges \(r\) \(f(x_1, \ldots,x_r;p)=\prod\limits_{j=1}^r f(x_j,p)\), so gilt unter gewissen Regularitätsbedingungen über \(f(x,p)\) \[ \lim_{n\to \infty} \frac{I(p_n)}n = I(x), \] wenn \(p_n(x_1, x_2,\ldots, x_n)\) die “maximum likelihood estimate” von \(p\) bedeutet.

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