Richtungsfelder und Fernparallelismus in \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. (German) JFM 62.0662.02

Stiefel, E.

Comment. math. Helvetici 8, 305-353 (1936).

\(M^n\) sei eine \(n\)-dimensionale, geschlossene, differenzierbare Mannigfaltigkeit; gibt es, bei gegebenem \(m\), \(1 \leqq m \leqq n\), in \(M^n\) ein System von \(m\) stetigen Richtungsfeldern, die in jedem Punkt linear unabhängig sind (kurz “\(m\)-Felder” genannt)? Diese Frage liegt der Untersuchung zugrunde. Es wird gezeigt: Für jedes \(m\) ist in \(M^n\) eine \((m-1)\)-dimensionale Homologieklasse \(F^{m-1}\) (deren Koeffizientenbereich je nach der Dimensionszahl der Ring der ganzen Zahlen oder der Restklassenring mod 2 ist) mit folgender Eigenschaft ausgezeichnet: Dann und nur dann existiert ein \(m\)-Feld, dessen Singularitäten ein höchstens \((m - 1)\)-dimensionales Teilpolyeder von \(M^n\) bilden, wenn \(F^{m-1}=0\) ist; notwendig für die Existenz eines \(m\)-Feldes ohne Singularität ist also das Verschwinden der Klassen \(F^0,\,F^1,\ldots \!,F^{m-1}\). Die Klasse \(F^0\) wird bekanntlich durch einen Punkt, dessen Vielfachheit die Eulersche Charakteristik von \(M^n\) ist, repräsentiert; die übrigen \(F^{m-1}\) sind Invarianten vom \(M^n\), von denen bisher nicht bekannt ist, ob sie mit den klassischen Invarianten zusammenhängen.
Wenn in \(M^n\) ein \(n\)-Feld existiert, so ist es berechtigt, \(M^n\) als “parallelisierbar” zu bezeichnen. Es wird – unter gewissen Differenzierbarkeitsannahmen – gezeigt: Jede orientierbare \(M^3\) ist parallelisierbar – ein Satz, dessen Merkwürdigkeit durch den folgenden beleuchtet wird: Für jedes \(n\), das \(\neq 1\) und \(\neq 3\) ist, gibt es eine orientierbare \(M^n\), die nicht parallelisierbar ist.
Beispiele von Mannigfaltigkeiten, in denen zwar ein stetiges Richtungsfeld, jedoch kein 2-Feld ohne Singularität existiert, sind die reellen projektiven Räume der Dimensionszahlen \(4k + 1\). Diese geometrische Tatsache hat die folgende algebraische Konsequenz: Es seien \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) reelle, quadratische, \((4k +2)\)-reihige Matrizen; dann gibt es solche reelle Zahlen \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), die nicht alle = 0 sind, daß die Determinante \(|\, x_1\, A_1 + \,x_2\, A_2 + \,x_3\, A_3 \,|=0\) wird.
Als Anwendung eines Satzes der Arbeit wird in einem Anhang noch folgendes bewiesen: Eine \(M^n\) mit ungerader Eulerscher Charakteristik kann nicht, wie groß auch \(N\) sei, im \(N\)-dimensionalen euklidischen Raum durch Gleichungen \[ f_i\,(x_1, \ldots \!,x_N)=0 \qquad (i=1, \ldots \!,N-n), \] deren Funktionalmatrix überall den Rang \(N-n\) hat, dargestellt werden. (III 2.)

Reviewer: Hopf, H., Prof. (Zürich)

JFM Section:

Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 2. Topologie.